1 . 已知数列满足，且.
(1)证明：数列是等比数列，并求出的通项公式.
(2)设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

3 . 已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列
(2)设数列满足，求最小的实数，使得对一切正整数均成立．

4 . 已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和．

5 . 已知数列中，，且.
(1)求，并证明是等比数列；
(2)求的通项公式.

6 . 已知数列满足，，且，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记数列的前n项和为，求数列的通项公式，并求出使得不等式成立的n的最小值.

7 . 已知数列满足
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求的前项和

8 . 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p_n，易知．

①试证明：为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q_n，比较p₁₀与q₁₀的大小．

9 . 已知数列中，.
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式成立的自然数恰有4个，求正整数的值.

10 . 已知数列满足，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)令，求数列的前项和.