1 . 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列
经过第一次“和扩充”后得到数列
；第二次“和扩充”后得到数列
．设数列
经过
次“和扩充”后得到的数列的项数为
，所有项的和为
．
(1)若
，求
；
(2)求不等式
的解集；
(3)是否存在数列
，使得数列
为等比数列？请说明理由．
经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．(1)若
，求；(2)求不等式
的解集；(3)是否存在数列
，使得数列为等比数列？请说明理由．
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2 . 学校食堂每天中午都会提供
两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择
套餐概率为
，选择
套餐概率为
；而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为
，选择套餐的概率为
；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为
，选择套餐的概率也是；如此反复，记某同学第天选择套餐的概率为
，选择套餐的概率为
；5个月（150天）后，记甲、乙、丙三位同学选择套餐的人数为
，则下列说法中正确 的是（ ）
两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐概率为，选择套餐概率为；而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是；如此反复，记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；5个月（150天）后，记甲、乙、丙三位同学选择套餐的人数为，则下列说法中A． | B． | C． | D． |
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昨日更新
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384次组卷
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4卷引用：【讲】 专题三 复杂背景的概率计算问题（压轴大全）
（已下线）【讲】 专题三 复杂背景的概率计算问题（压轴大全）广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高二下学期第二次联考数学试题（已下线）【江苏专用】高二下学期期末模拟测试B卷山东省烟台市牟平区第一中学2023-2024学年高二下学期6月限时练（月考）数学试题
2024·全国·模拟预测
3 . 甲、乙两名小朋友，每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中的3张卡片为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1张，去与对方交换，重复次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片
张，恰有2张银色纪念卡片的概率为
，恰有1张银色纪念卡片的概率为
．
(1)求
的值．
(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率
．
(3)记
．
（i）证明数列
为等比数列，并求出
的通项公式．
（ii）求的分布列及数学期望．（用表示）
次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为．(1)求
的值．(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率
．(3)记
．（i）证明数列
为等比数列，并求出的通项公式．（ii）求
的分布列及数学期望．（用表示）
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4 . 已知正项数列中，
，且
.
(1)求数列的通项公式；
(2)
，证明，
.
中，，且.(1)求数列
的通项公式；(2)
，证明，.
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5 . 已知桶
中盛有3升水，桶
中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶
中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶
中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶
中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶
中；如此继续操作下去.
(1)求操作1次后桶中的水量；
(2)求操作次后桶中的水量；
(3)至少操作多少次，桶
中的水量与桶
中的水量之差小于
升？（参考数据：
，
）
中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去.(1)求操作1次后桶
中的水量；(2)求操作
次后桶中的水量；(3)至少操作多少次，桶
中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，）
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6 . 已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照如下方式依次构造点
：过
作斜率为的直线与的左支交于点
，令为关于
轴的对称点，记的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设为
的面积，证明：对任意正整数，
.
，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若
，求；(2)证明：数列
是公比为的等比数列；(3)设
为的面积，证明：对任意正整数，.
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4996次组卷
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6卷引用：2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题
2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题（已下线）2024年高考数学真题完全解读（新高考Ⅱ卷）专题08平面解析几何（已下线）2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题变式题16-19专题08[2837] 平面解析几何福建省泉州市安溪铭选中学2023-2024学年高二下学期6月份质量检测数学试题
7 . 已知数列的首项
，且满足
，若
，则满足条件的最大整数
（ ）
的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（ ）| A．8 | B．9 | C．10 | D．11 |
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解题方法
8 . 已知数列
满足
，
，则下列是等比数列的是（ ）
满足，，则下列是等比数列的是（ ）A． | B． | C． | D． |
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名校
解题方法
9 . 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率约为10%，且每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起的十年内每年年初的计划存栏数依次为
，则
_______ ，数列
的通项公式
_______ ( 1≤n≤10，
)．
，则的通项公式 )．
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10 . 已知数列满足：
，且
，
.
(1)证明：数列
是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若
，求的值.
满足：，且，.(1)证明：数列
是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若
，求的值.
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