1 . 在数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足；
①求证：数列是等差数列；
②若，设数列的前n项和为，求证：．

2 . 已知递增数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）求．

3 . 现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为．
(1)求随机变量的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求证：．

4 . 设，.
(1)当时，证明：；
(2)证明：.

5 . 已知首项为1的数列的前项和为，其中，现有以下结论：①；②；③．则正确结论的序号为（       ）

A．①

B．②

C．②③

D．①②③

6 . 记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设．定义运算若，则，且．
(1)设，用表示；
(2)若，证明：：
(3)若数列满足，数列满足，设，证明：．

7 . 已知数列满足，且对任意均有．
(1)设，证明为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)已知，求．

8 . 已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则（       ）

A．37

B．38

C．39

D．40

9 . 已知函数，其中．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；
(3)已知数列的通项公式为，求证：．

10 . 已知正项数列的前项和为，首项.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若函数，正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.