名校
解题方法
1 . 已知矩形ABCD中，
，
，
分别为
中点，
为对角线
交点，如图1所示．现将
和
剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿
将
，
折叠，并使
与
重合，
与
重合，连接，得到由平面
，
，
，
围成的无盖几何体，如图2所示．
(1)求证：
平面
；
(2)若
为棱上动点，求
的最小值；
(3)求此多面体体积
的最大值．
，，分别为中点，为对角线交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿将，折叠，并使与重合，与重合，连接，得到由平面，，，围成的无盖几何体，如图2所示． (1)求证：
平面；(2)若
为棱上动点，求的最小值；(3)求此多面体体积
的最大值．
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2 . 如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为棱
中点，且
平面
．
(1)求证：
；
(2)若
，二面角
的大小为
，求三棱锥
的内切球半径
．
中，底面为平行四边形，为棱中点，且平面． (1)求证：
；(2)若
，二面角的大小为，求三棱锥的内切球半径．
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名校
解题方法
3 . 为了求一个棱长为
的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体
为棱长是的正四面体，且有
.
(1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为
、
、
，求此四面体的体积；
(2)对棱分别相等的四面体中，
，
，
.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形.
的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.(1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为
、、，求此四面体的体积；(2)对棱分别相等的四面体
中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形.
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2022-11-23更新
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752次组卷
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4卷引用：上海市格致中学2023届高三上学期10月月考数学试题
上海市格致中学2023届高三上学期10月月考数学试题（已下线）8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（已下线）第21讲 简单几何体的表面积与体积7种常考题型（1）山东省青岛市青岛第五十八中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
名校
解题方法
4 . 如图所示，在直四棱柱
中，底面ABCD是等腰梯形，
，
，
，四边形
是正方形．
(1)指出棱
与平面
的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面截该四棱柱所得的截面补充完整；
(2)求二面角
的余弦值．
中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四边形是正方形．(1)指出棱
与平面的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面截该四棱柱所得的截面补充完整；(2)求二面角
的余弦值．
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2022-05-26更新
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749次组卷
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4卷引用：河南省平顶山市汝州市第一高级中学2022届高三下学期考前模拟考试理科数学试题
名校
解题方法
5 . 在空间直角坐标系
中，以坐标原点为圆心，为半径的球体上任意一点
，它到坐标原点的距离
，可知以坐标原点为球心，为半径的球体可用不等式
表示．还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记
满足的不等式组
表示的几何体为
．
（1）当
表示的图形截所得的截面面积为
时，求实数
的值；
（2）请运用祖暅原理求证：记
满足的不等式组
所表示的几何体
，当时，与的体积相等，并求出体积的大小．（祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等）
中，以坐标原点为圆心，为半径的球体上任意一点，它到坐标原点的距离，可知以坐标原点为球心，为半径的球体可用不等式表示．还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记满足的不等式组表示的几何体为．（1）当
表示的图形截所得的截面面积为时，求实数的值；（2）请运用祖暅原理求证：记
满足的不等式组所表示的几何体，当时，与的体积相等，并求出体积的大小．（祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等）
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2021-04-24更新
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767次组卷
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5卷引用：辽宁省“决胜新高考·名校交流“2021届高三3月联考数学试题
辽宁省“决胜新高考·名校交流“2021届高三3月联考数学试题八省名校2021届高三新高考冲刺大联考数学试题江苏省常州市前黄高级中学2021届高三下学期5月高考适应性考试(一)数学试题（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点2 祖暅原理及球体积辅助体综合训练【培优版】（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题一 交汇中国古代文化 微点2 与中国古代文化遗产有关的立体几何问题（二）【基础版】
6 . 如图所示，在三棱锥D－ABC中，AC，BC，CD两两垂直，AC＝CD＝1，
，O为AB的中点．
(1)若过点O的平面α与平面ACD平行，且与棱DB，CB分别相交于M，N，在图中画出该截面多边形，并说明点M，N的位置(不要求证明)；
(2)求点C到平面ABD的距离．
，O为AB的中点．(1)若过点O的平面α与平面ACD平行，且与棱DB，CB分别相交于M，N，在图中画出该截面多边形，并说明点M，N的位置(不要求证明)；
(2)求点C到平面ABD的距离．
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7 . 如图所示，空间几何体
中，四边形是梯形，四边形
是矩形，且平面
平面，
，
，
是线段
上的动点.
（1）求证：
；
（2）试确定点的位置，使
平面
，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，求空间几何体
的体积.
中，四边形是梯形，四边形是矩形，且平面平面，，，是线段上的动点.（1）求证：
；（2）试确定点
的位置，使平面，并说明理由；（3）在（2）的条件下，求空间几何体
的体积.
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2017-05-14更新
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1508次组卷
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2卷引用：湖南省衡阳市2017届高三下学期第三次联考数学（文）试题
名校
8 . 如图，四棱锥
的底面
为正方形，
⊥底面，
分别是
的中点，
.
（Ⅰ）求证
∥平面
；
（Ⅱ）求直线与平面
所成的角；
（Ⅲ）求四棱锥的外接球的体积.
的底面为正方形，⊥底面，分别是的中点，.（Ⅰ）求证
∥平面；（Ⅱ）求直线
与平面所成的角；（Ⅲ）求四棱锥
的外接球的体积.
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