1 . 如图，在直三棱柱中，点D为线段AC的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求到平面的距离．

2 . 如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求点C到平面的距离.

3 . 如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且分别为线段的中点.

(1)证明：.
(2)证明：平面平面.
(3)若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积.

4 . 如图，在直三棱柱中，是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线．

(1)证明：；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值．

5 . 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的大小.

6 . 在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，.

   

(1)证明：
(2)若，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积.

7 . 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，平面ABC，，，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．

(1)证明：平面PBC；
(2)直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥的体积；
(3)点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为，是否存在点Q，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

8 . 如图，四棱锥的底面是矩形，平面为的中点，为PA上一点，且．

(1)证明：平面BDQ；
(2)若二面角为，求三棱锥的体积．

9 . 已知在正方体中，是中点.

(1)求证：平面；
(2)设正方体棱长为，求三棱锥的表面积和体积.

10 . 如图1，在矩形中，，是与的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.

图1                           图2

(1)证明：平面平面；
(2)若，求三棱锥的体积的最大值.