1 . 如图，在四棱锥中，平面.

   

(1)求证：平面；
(2)若，求与平面成角的正弦值；
(3)设点为的中点，过点的平面与棱交于点，且平面，求的值.

2 . 如图①，已知三角形是边长为2的等边三角形，是的中点，，如图②，将沿边翻折至．

(1)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(2)（i）若平面与平面所成的二面角的正切值为，求点到直线的距离．
（ii）若点在平面上的投影在上，求平面与直线所成角的正弦值．

3 . 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：

(1)若为的中点，求证：平面；
(2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．

4 . 如图1，在矩形 中，是线段上（包括端点）的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点 平面 .

   

(1)如图2，当时，点是线段上点的，平面 ，求 的值；
(2)如图2，若点 在平面 内的射影落在线段上.
①是否存在点，使得 平面 ，若存在，求的长；若不存在，请说明理由；
②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离.

5 . 如图，六面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，，且平面平面ABCD．

(1)在DE上确定一点M，使得平面ABCD；
(2)求证：平面ABCD；
(3)若，求六面体ABCDEF的体积．

6 . 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，则.

(1)已知为射线上一点，交于点，交于点，当时，证明以上三面角余弦定理；
(2)如图2，平行六面体中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.

7 . 如图1，已知矩形ABCD中，为CD上一点且.现沿着折起，使点到达点的位置，且，得到的图形如图2.

(1)证明为直角三角形；
(2)设动点在线段上，判断直线与平面的位置关系，并说明理由.
(3)若为中点且平面APE，求三棱锥的体积.

8 . 如图，在正三棱台中，，，，分别是，的中点，为上一点.

   

(1)若是的中点，求证：平面；
(2)若平面，求点的位置，并说明理由.

9 . 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点．

(1)求证：平面；
(2)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；
(3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长．

10 . 如图所示，四边形为直角梯形，且，，，，．为等边三角形，平面平面．

   

(1)线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由；
(2)空间中有一动点，满足，且．求点的轨迹长度．