1 . 如图，四棱锥中，底面为矩形，，，平面，为的中点．

（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正切值；
（3）在第二问的条件下，若为线段中点，为线段上的动点，平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．

2 . 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，M，N分别为BC，的中点，P为AM上一点，过和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：，且平面；
（2）设O为的中心，若面，且，求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．

（1）证明：平面平面；
（2）已知二面角的平面角的余弦为，求与平面所成角的正弦值．

4 . 中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥成为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面为矩形，平面，，，以的中点为球心，为直径的球面交于（异于点），交于（异于点）.

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

5 . 如图，在三棱台中，平面平面，，，，．

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

6 . 如图，已知三棱锥﹐，是边长为的正三角形，﹐，点为线段的中点．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．

7 . 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，O为的中点，平面，，M为的中点．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．

8 . 如图，在直三棱柱中，，，M是棱BC的中点，点P在线段A₁B上.

（1）若P是线段的中点，求直线MP与平面所成角的大小；
（2）若N是的中点，平面PMN与平面CMN所成锐二面角的余弦值为，求线段BP的长度.

9 . 如图所示为一个半圆柱，为半圆弧上一点，.

（1）若，求四棱锥的体积的最大值；
（2）有三个条件：①；②直线与所成角的正弦值为；③.请你从中选择两个作为条件，求直线与平面所成角的余弦值.

10 . 如图，在四棱锥中，，，，是的中点，平面平面.

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.