1 . 如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算）

2 . 在直角梯形中，，∥，，，点为线段上的一点.将沿翻折到的位置，使得.

(1)求证：∥平面；
(2)若二面角为，判断所在的位置；
(3)在上是否存在一点，使.若存在，指出位置并证明，若不存在，说明理由.

3 . 如图；在三棱柱中；侧面为矩形．

   

(1)若面；，，求证：；
(2)若二面角的大小为；，且；设直线和平面所成角为；问当变化过程中能否取到；若能；请证明；若不能请说明理由．

4 . 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
   
(1)求证：平面(用两种方法证明）；
(2)求平面与平面所成的锐角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.

5 . 如图，在直三棱柱中，平面平面，
   
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角为，二面角的大小为，试判断，的大小关系，并予以证明.

6 . 如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点.
   
(1)求证：；
(2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由；
(3)求二面角的正切值.

7 . 如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面分别是的中点．
   
(1)记平面与平面的交线为，证明：平面；
(2)设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．

8 . 如图，在中，O是的中点，.将沿折起，使B点移至图中点位置．

(1)求证：平面；
(2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，试问在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求的长．

9 . 如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值；
(3)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

10 . 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)求证：为正四面体；
(2)若，求二面角的大小；
(3)设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.