1 . 已知正方体
的棱长为1，
是空间中任意一点．给出下列四个结论：
①若点在线段
上运动，则始终有
；
②若点在线段
上运动，则过，
，
三点的正方体截面面积的最小值为
；
③若点在线段上运动，三棱锥
体积为定值；
④若点在线段
上运动，则
的最小值为
．
其中所有正确结论的序号有
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2023-03-22更新
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1244次组卷
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8卷引用：北京市第四中学2023届高三阶段性考试（零模）数学试题
（已下线）北京市第四中学2023届高三阶段性考试（零模）数学试题北京市回民学校2023届高三下学期数学统测试题（四）（已下线）高二上学期第一次月考填空题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）重庆市涪陵区部分学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）第一次月考检测模拟试卷（原卷版）（已下线）专题01 空间向量与立体几何（5）北京市第一六一中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试卷北京市顺义区杨镇第一中学2024届高三下学期3月检测数学试题
2023高一·全国·专题练习
2 . 直线与平面垂直
（1）定义
一般地，如果直线l与平面α内的_____ 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 直线l叫做平面α的_____ ，平面α叫做直线l的______ . 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_____ . 过一点垂直于已知平面的直线__________
（2）判定定理
（3）直线与平面所成角
平面的一条斜线和它在平面上的______ 所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成角
的范围是_______ .
（4）性质定理
（5）空间距离
①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的_____ ，垂线段的长度叫做这个点到该平面的_____ .
②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上______ 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都______ ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
（1）定义
一般地，如果直线l与平面α内的
（2）判定定理
文字语言 | 如果一条直线与一个平面内的 |
图形语言 |
|
符号语言 |
|
. 平面的一条斜线和它在平面上的
的范围是（4）性质定理
文字语言 | 垂直于同一个平面的两条直线平行. |
图形语言 |
|
符号语言 |
|
①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的
②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上
③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都
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解题方法
3 . 如图，
为圆柱下底面圆
的直径，
是下底面圆周上一点，已知
，圆柱的高为5．若点
在圆柱表面上运动，且满足
，则点的轨迹所围成图形的面积为_______ ．
为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为
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2023-05-09更新
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930次组卷
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4卷引用：四川省成都市2023届高三三诊理科数学试题
四川省成都市2023届高三三诊理科数学试题山西省晋城市陵川县平城中学2022-2023学年高一下学期月考三数学试题（已下线）专题10 空间向量与立体几何-3（已下线）重难点突破04 立体几何中的轨迹问题（六大题型）
20-21高一·全国·课后作业
4 . 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______ 个．
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
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2021-06-13更新
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2895次组卷
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6卷引用：8.6.2 直线与平面垂直-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版2019必修第二册）
（已下线）8.6.2 直线与平面垂直-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版2019必修第二册）（已下线）8.6.2 直线与平面垂直（分层练习）-2020-2021学年高一数学新教材配套练习（人教A版2019必修第二册）云南省昆明市官渡区云子中学长丰学校2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题（已下线）8.6.2直线与平面垂直（第1课时）（练案）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)（已下线）第03讲 空间直线、平面的平行 (高频考点—精练）6.5.1直线与平面垂直的判定 课时练习2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册
名校
5 . 已知正方体的棱长为
，点
分别为棱
的中点，则下列结论中正确的序号是___________ .
①过三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；
②
平面
；
③
平面
；
④四面体
的体积等于
的棱长为，点分别为棱的中点，则下列结论中正确的序号是①过
三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；②
平面；③
平面；④四面体
的体积等于
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2022-01-06更新
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1724次组卷
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6卷引用：黑龙江省哈尔滨市第六中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学（理）试题
黑龙江省哈尔滨市第六中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学（理）试题（已下线）专题10 立体几何线面位置关系及空间角的计算（练）--第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）》（已下线）专题09立体几何线面位置关系及面积体积计算问题（练）--第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》（已下线）专题29 空间点、直线、平面之间的位置关系-4北京市西城区北京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题广东省汕尾市华大实验学校2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
6 . 在四面体
中，
，与
所在的直线间的距离为3，且与所成的角为
，则四面体的体积为__________ .
中，，与所在的直线间的距离为3，且与所成的角为，则四面体的体积为
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2023-05-04更新
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797次组卷
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4卷引用：湖北省荆门市龙泉中学、荆州中学·、宜昌一中三校2023届高三下学期5月联考数学试题
湖北省荆门市龙泉中学、荆州中学·、宜昌一中三校2023届高三下学期5月联考数学试题湖北省武汉市黄陂区一中盘龙校区2023届高三下学期6月考前冲刺数学试题（已下线）第四节?直线,平面垂直的判定与性质（B素养提升卷)（已下线）重难点突破02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离（四大题型）
名校
7 . 设
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面.下列正确命题的序号是______ .
①若
，
，
，则
②若
，
，
，则
③若，，，则
④若，
，
，则
，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是①若
，，，则 ②若，，，则③若
，，，则 ④若，，，则
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2023-06-14更新
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660次组卷
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5卷引用：河北省赵县中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
河北省赵县中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题河北省石家庄市五校联合体2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）第03讲 空间中平行、垂直问题10种常见考法归类（3）（已下线）第10章 空间直线与平面（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）（已下线）模块五 高一下期中重组篇（河北）
名校
解题方法
8 . 
是空间两条不同直线，
是两个不同平面，下面有四个命题：
①
，则，
②
，则，
③
，则，
④
，则，
其中真命题的编号是__________ .（写出所有真命题的编号）
是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：①
，则，②
，则，③
，则，④
，则，其中真命题的编号是
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2023-06-14更新
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553次组卷
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5卷引用：上海市行知中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题
上海市行知中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题（已下线）第10章 空间直线与平面 单元综合检测（重点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）（已下线）10.3 直线与平面间的位置关系（第2课时）（七大题型）（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）（已下线）第10章 空间直线与平面（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）（已下线）8.6.1直线与直线垂直+8.6.2直线与平面垂直——随堂检测
解题方法
9 . 下列关于直三棱柱
中点、线、面位置关系的说法正确的有________ .
①直线与直线
平行； ②直线与平面
垂直；
③直线
与平面
平行； ④直线与平面垂直
中点、线、面位置关系的说法正确的有①直线
与直线平行； ②直线与平面垂直；③直线
与平面平行； ④直线与平面垂直
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2023-04-20更新
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656次组卷
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4卷引用：6.1基本立体图形练习-2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册
6.1基本立体图形练习-2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册宁夏开元学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）8.6.1直线与直线垂直+8.6.2直线与平面垂直——随堂检测（已下线）8.4空间点、直线、平面之间的位置关系——课后作业（基础版）
10 . 在四棱锥
中，所有侧棱长都为
，底面是边长为
的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为___________
中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为
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2023-06-13更新
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586次组卷
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4卷引用：陕西省西北工业大学附属中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题
陕西省西北工业大学附属中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题（已下线）第04讲 利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类（1）河北省衡水市饶阳中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）专题训练：空间线线角、线面角、面面角求解精练30题-同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）
