1 . 如图,在直三棱柱中,平面平面,
(1)求证:平面;
(2)若直线与平面所成角为,二面角的大小为,试判断,的大小关系,并予以证明.
(1)求证:平面;
(2)若直线与平面所成角为,二面角的大小为,试判断,的大小关系,并予以证明.
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2 . 如图;在三棱柱中;侧面为矩形.
(1)若面;,,求证:;
(2)若二面角的大小为;,且;设直线和平面所成角为;问当变化过程中能否取到;若能;请证明;若不能请说明理由.
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解题方法
3 . 用光线照射物体,在某个平面上得到的影子叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影,由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影,投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示,已知平行四边形在平面内的平行投影是四边形.
(1)若平行四边形平行于投影面(如图),求证:四边形是平行四边形;
(2)在图中作出平面与平面的交线(保留作图痕迹,不需要写出过程);
(3)如图,已知四边形和平行四边形的面积分别为,平面与平面的交线是直线,且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为(为锐角),猜想并写出角的余弦值(用表示),再给出证明.
图
图
图
(1)若平行四边形平行于投影面(如图),求证:四边形是平行四边形;
(2)在图中作出平面与平面的交线(保留作图痕迹,不需要写出过程);
(3)如图,已知四边形和平行四边形的面积分别为,平面与平面的交线是直线,且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为(为锐角),猜想并写出角的余弦值(用表示),再给出证明.
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4 . 如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F分别是PA, PC的中点.
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.
(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,记直线DF与平面ABC所成的角为 ,直线DF与直线BD所成的角为 ,二面角的大小为 ,求证: .
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.
(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,记直线DF与平面ABC所成的角为 ,直线DF与直线BD所成的角为 ,二面角的大小为 ,求证: .
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5 . 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,用曲率刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差,其中多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制.例如:正四面体每个顶点均有3个面角,每个面角均为,故其各个顶点的曲率均为.如图,在直三棱柱中,点A的曲率为,N,M分别为AB,的中点,且.(1)证明:平面.
(2)证明:平面平面.
(3)若,求二面角的正切值.
(2)证明:平面平面.
(3)若,求二面角的正切值.
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6 . 如图,在四棱锥中,平面平面,,底面为等腰梯形,,且.(1)证明:平面平面;
(2)若点A到平面PBC的距离为,求平面与平面夹角的余弦值.
(2)若点A到平面PBC的距离为,求平面与平面夹角的余弦值.
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解题方法
7 . 如图,已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上,,,,点是上半圆上的动点(不包含,两点),点是线段上的动点,将半圆所在的平面沿直径折起,使得平面平面.(1)当平面时,求的值;
(2)证明:不可能垂直;
(3)设与平面所成的角为,二面角的平面角为(其中),求的最大值.
(2)证明:不可能垂直;
(3)设与平面所成的角为,二面角的平面角为(其中),求的最大值.
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8 . 如图,已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上,点是上半圆上的动点(不包含两点),点是线段上的动点,将半圆所在的平面沿直径折起,使得平面平面
(2)当平面时,求的值;
(3)设与平面所成的角为,二面角的平面角为,其中,求的最大值.
(1)用反证法证明:不可能垂直;
(2)当平面时,求的值;
(3)设与平面所成的角为,二面角的平面角为,其中,求的最大值.
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9 . 如下如图,水平桌面上放置一个透明塑料制成的长方体水槽,水面高度恰为长方体高的一半,在该长方体侧面上有一个小孔点到的距离为3.将该长方体水槽绕倾斜(始终在桌面上,如下如图所示),此时水恰好流出时,液面与棱分别相交于点.(1)证明:四边形是矩形;
(2)当水恰好流出时,求二面角的大小.
(2)当水恰好流出时,求二面角的大小.
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10 . 如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,E,F分别为,上的点,且.
(1)证明:平面;
(2)若平面,为的中点,,,求二面角的正切值.
(1)证明:平面;
(2)若平面,为的中点,,,求二面角的正切值.
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