名校
解题方法
1 . 如图所示棱长为1的正四面体
，
、
分别为
、
中点，
为靠近
的三等分点．记
，
．
，
，求
的最小值；
(2)求证:
平面
．
，、分别为、中点，为靠近的三等分点．记，．
，，求的最小值；(2)求证:
平面．
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2024-05-03更新
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334次组卷
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3卷引用：湖北省荆州市荆州中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷
湖北省荆州市荆州中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷浙江省北斗联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（已下线）专题06 立体几何初步解答题热点题型-《期末真题分类汇编》（江苏专用）
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2 . 向量外积（又称叉积）广泛应用于物理与数学领域.定义两个向量
与
的叉积
，规定
的模长为
，与、所在平面垂直，其方向满足如图1所示规则，且须满足如图所示的排列顺序.已知向量外积满足分配律，且
.
;②
;
(2)空间直角坐标系中有向量
，
①若
，用含
的坐标表示；
②
证明：
；
(3)如图2所示，平面直角坐标系
中有三角形OAB，
，试探究
的表达式.
与的叉积，规定的模长为，与、所在平面垂直，其方向满足如图1所示规则，且须满足如图所示的排列顺序.已知向量外积满足分配律，且.
;② ;(2)空间直角坐标系中有向量
，①若
，用含的坐标表示；②
证明：；(3)如图2所示，平面直角坐标系
中有三角形OAB，，试探究的表达式.
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3 . 如图，四棱锥
中，
为等腰直角三角形，四边形为菱形， 
，
，E，F分别为CD，PD的中点，平面
平面．
(1)求证：
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
中，为等腰直角三角形，四边形为菱形， ，，E，F分别为CD，PD的中点，平面平面．(1)求证：
；(2)求平面
与平面夹角的余弦值．
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4 . 如图，平行六面体
的底面是菱形，且
，
，
．
(1)求
的长．
(2)求异面直线
与
所成的角的余弦值．
的底面是菱形，且，，．(1)求
的长．(2)求异面直线
与所成的角的余弦值．
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名校
5 . 如图：平行六面体中，
，且
，
，记
，
，
．
(1)将
用，
，表示出来，并求
；
(2)求异面直线与
所成角的余弦值．
中，，且，，记，，．(1)将
用，，表示出来，并求；(2)求异面直线
与所成角的余弦值．
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6 . 已知空间中三点
，
，
.设，.
(1)求
和
；
(2)若
与
互相垂直，求实数
的值.
，，.设，.(1)求
和；(2)若
与互相垂直，求实数的值.
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2023-12-20更新
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348次组卷
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2卷引用：湖北省武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高二上学期期中质量检测数学试题
7 . 如图，四棱锥的底面为平行四边形，且
，
是
的中点．
(1)若
，求
的值；(2)求线段
的长．
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2023-11-21更新
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286次组卷
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3卷引用：湖北省部分县市重点中学温德克英名校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中综合性质量监测数学试卷
湖北省部分县市重点中学温德克英名校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中综合性质量监测数学试卷江西省上饶市广丰贞白中学2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题（已下线）3.1 空间向量及其运算(八大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
解题方法
8 . 如图，在平行六面体中，，，分别在
，
，
上，且
，
，
．
(1)求证：
；
(2)若底面，侧面
都是正方形，且二面角
的大小为120°，
，若
是
的中点，求
的长度．
中，，，分别在，，上，且，，．(1)求证：
；(2)若底面
，侧面都是正方形，且二面角的大小为120°，，若是的中点，求的长度．
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名校
9 . 如图，和
是不在同一平面上的两个矩形，
，
，记，
，
.请用基底
，表示下列向量：
(1)
；
(2)
；
和是不在同一平面上的两个矩形，，，记，，.请用基底，表示下列向量： (1)
；(2)
；
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名校
10 . 如图所示，在三棱柱
中，
，
是的中点.
(1)用
表示向量
；
(2)在线段
上是否存在点，使
？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.
中，，是的中点.(1)用
表示向量；(2)在线段
上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.
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2024-04-08更新
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335次组卷
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24卷引用：湖北省随州市第一中学2023-2024学年高二上学期8月月考数学试题
湖北省随州市第一中学2023-2024学年高二上学期8月月考数学试题山东省青岛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题湖南省长沙市四校联考2022-2023学年高二上学期9月阶段考试数学试题第一章 空间向量与立体几何（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）辽宁省沈阳市第一二〇中学2022-2023学年高二上学期第一次质量检测数学试题河北省石家庄实验中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题广东省广州市天河外国语学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题安徽省合肥市肥东县综合高中2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（已下线）专题1.13 空间向量与立体几何全章综合测试卷-提高篇-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.2 空间向量基本定理 精讲（5大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第03讲 1.2空间向量基本定理（4类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题1.3 空间向量基本定理【八大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）1.2 空间向量基本定理练习广东省惠州市博罗县博罗中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高二上学期11月期中质量检测数学试题湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期入学考试(暑假作业检测)数学试题（已下线）专题 01 空间基底及综合应用（3）山东省枣庄市薛城区、滕州市2023-2024学年高二上学期期中质量检测数学试题（已下线）专题 01 空间基底及综合应用（2）（已下线）专题01空间向量及其运算（4个知识点8种题型3个易错点）（3）（已下线）专题01 空间向量与立体几何（3）（已下线）专题03 空间向量基本定理4种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)云南省沧源佤族自治县民族中学2022-2023学年高二上学期教学测评月考（一）数学试题（已下线）第七章 应用空间向量解立体几何问题拓展 专题一 空间向量基底法 微点4 空间向量基底法（四）【基础版】
