名校
解题方法
1 . 2023年9月23日，杭州第19届运动会开幕式现场，在AP技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升腾而起，溢满整个大莲花场馆，融汇为点点星河流向远方，绘就了一幅万家灯火的美好图景．灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，经过数千做年的发展，灯笼也发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术表现形式．现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面
表示圆柱的轴截面，
是圆柱底面的直径，
为底面圆心，E为母线
的中点，已知
为一条母线，且
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的余弦值．
表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，E为母线的中点，已知为一条母线，且． (1)求证：平面
平面；(2)求二面角
的余弦值．
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2023-11-09更新
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881次组卷
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6卷引用：河北省保定市定州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题
河北省保定市定州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题河北省石家庄一中2023-2024学年高二上学期期中数学试题河南省信阳市信高教育集团南湾校区2023-2024学年高二上学期期末复习检测数学试题（一）河南省驻马店高级中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（已下线）压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式）讲（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点2 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题（二）【培优版】
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解题方法
2 . 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为
，，
，，
均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为
和，对应的圆心角为
，则图中异面直线
与
所成角的余弦值为______ ．
，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为
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2023-01-16更新
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680次组卷
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7卷引用：河北省保定市定州中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题
名校
解题方法
3 . 阅读材料：空间直角坐标系
中，过点
且一个法向量为
的平面
的方程为
，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为
，直线
是两平面
与
的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______ ．
中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为
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2023-01-10更新
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539次组卷
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4卷引用：河北省邯郸市魏县2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题
河北省邯郸市魏县2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题山西省晋城市第一中学校2022-2023学年高二上学期11月月考数学试题（已下线）第五篇 向量与几何 专题18 空间点线面问题 微点1 空间点线面问题黑龙江省佳木斯市东风区第八中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
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解题方法
4 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，
、
是直角圆锥
的两个轴截面，且
，则异面直线
与所成角的余弦值为（ ）
、是直角圆锥的两个轴截面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-12-18更新
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1076次组卷
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12卷引用：河北省衡水市第十三中学2023届高三上学期质检（三）数学试题
河北省衡水市第十三中学2023届高三上学期质检（三）数学试题辽宁省葫芦岛市协作校2022-2023学年高二上学期第二次考试数学试题重庆市好教育联盟2022-2023学年高二上学期12月调研数学试题河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高二上学期12月阶段检测数学试题（已下线）专题01 空间向量与立体几何小题专项练习湖北省随州市曾都区第一中学2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题湖北省武汉市第六中学2022-2023学年高二上学期第三次月考数学试题北师大版(2019) 选修第一册 数学奇书 第三章 空间向量与立体几何 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 第2课时 空间中的距离问题山东省烟台市龙口市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）模块二 专题1《空间向量与立体几何》单元检测篇 B提高卷（人教A）辽宁省东北育才学校科学高中部2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题四川省江油市太白中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
名校
5 . 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，
分别是边长为4的正方形三边
的中点，先沿着虚线段
将等腰直角三角形
裁掉，再将剩下的五边形
沿着线段
折起，连接
就得到了一个“刍甍”(如图2)．
(1)若是四边形
对角线的交点，求证：
平面
(2)若二面角
的大小为
，求直线
与平面所成角的正弦值.
分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．(1)若
是四边形对角线的交点，求证：平面(2)若二面角
的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
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2022-12-13更新
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1169次组卷
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21卷引用：河北省唐山市开滦第二中学2023届高三上学期第四次线上考试数学试题
河北省唐山市开滦第二中学2023届高三上学期第四次线上考试数学试题江苏省无锡市江阴市2022届高三下学期最后一卷数学试题（已下线）第一章 空间向量与立体几何综合测试-2022年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）（已下线）专题08 立体几何综合-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）空间向量的应用空间向量与立体几何中的高考新题型湖北省潜江市园林高级中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题山东省潍坊市昌邑市潍坊实验中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题山东省济宁市梁山县第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题湖北省武汉市第二十中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题湖南省张家界市慈利县第一中学2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题湖北省随州市曾都区第一中学2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题江西省新余市2023届高三上学期期末质量检测数学（理）试题湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二上学期期末数学试题湖北省黄冈市浠水县第一中学2022-2023学年高二下学期3月质量检测数学试题甘肃省兰州市西固区兰州市第六十一中学2023届高三上学期期末理科数学试题山东省日照市实验高级中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段(10月月考)数学试题山西大学附属中学校2023-2024学年高二上学期10月模块诊断数学试题四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高二上学期第一次质量检测数学试题湖南省张家界市慈利县第一中学2022-2023学年高二上学期第四次月考数学试题（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】
名校
6 . 某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍” (如图2)。
(1)若O是四边形对角线的交点，求证：
平面；
(2)若二面角的大小为
求平面
与平面
夹角的余弦值.
的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍” (如图2)。(1)若O是四边形
对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角
的大小为求平面与平面夹角的余弦值.
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2022-11-15更新
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1634次组卷
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11卷引用：河北省唐山市第一中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题
河北省唐山市第一中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题广东省2023届高三上学期素质评价一数学试题广西柳州市2023届高三第二次模拟数学（理）试题（已下线）大题强化训练（4）四川省遂宁市射洪中学校2023届高三下学期开学考试理科数学试题广东省揭阳市惠来县第一中学2023届高三最后一模（临门一脚）数学试题广东省佛山市三水区三水中学2022-2023学年高二上学期第二次统考（11月）数学试题辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题河南省商丘市名校2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（已下线）湖南省浏阳市2024届高三上学期12月联考数学试题
名校
解题方法
7 . 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑
-
中，
平面
为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
-中，平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）| A．0 | B． | C． | D． |
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2022-11-03更新
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343次组卷
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2卷引用：河北省沧州市河间市第十四中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
名校
解题方法
8 . 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为
的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点
为线段上的动点，则直线
与直线
所成角的余弦值的取值范围为（ ）
的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-09-23更新
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3543次组卷
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18卷引用：河北正中实验中学2023届高三上学期月考（一）数学试题
河北正中实验中学2023届高三上学期月考（一）数学试题河南省创新联盟2022-2023学年高二上学期第一次联考数学试卷（A卷）（已下线）第04讲 空间向量在立体几何中的应用（练，理科专用）广东省深圳外国语学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题北京市顺义牛栏山第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）第05讲 空间向量及其应用 (高频考点—精练）广东省深圳市宝安中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题辽宁省沈阳市第一二〇中学2022-2023学年高二上学期第三次月考数学试题江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三一模适应性考试数学试题专题14空间向量与立体几何（选填题）（1）辽宁省大连市康考迪亚高级中学2022-2023学年高三二模拟数学试题（已下线）专题09 立体几何初步（已下线）第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法，5类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）广东省广州市真光中学2023-2024学年高二上学期9月阶段性质量检测数学试题广东省东莞市塘厦水霖学校2023-2024学年高二上学期段考一数学试题上海市嘉定区第一中学2024届高三上学期10月月考数学试题上海市奉贤中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题河南省郑州市河南省实验中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题
名校
9 . 半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则正确的是_______________________________
①
⊥平面
；
②该二十四等边体的体积为
；
③该二十四等边体外接球的表面积为
；
④
与平面
所成角的正弦值为
.
，则正确的是①
⊥平面；②该二十四等边体的体积为
；③该二十四等边体外接球的表面积为
；④
与平面所成角的正弦值为.
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2022-01-01更新
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840次组卷
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4卷引用：河北省保定市定州中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题
河北省保定市定州中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题黑龙江省哈尔滨市第一中学校2021-2022学年高三上学期期末考试数学（理）试题（已下线）必刷卷05-2022年高考数学考前信息必刷卷（新高考地区专用）空间向量与立体几何中的高考新题型
20-21高二下·湖北·期末
名校
解题方法
10 . 中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥
，其中
于，
，
，
平面
．
（1）求证：
；
（2）试验表明，当
时，风筝表现最好，求此时直线
与平面
所成角的正弦值．
，其中于，，，平面．（1）求证：
；（2）试验表明，当
时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．
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2021-07-08更新
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1226次组卷
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12卷引用：一轮复习大题专练50—立体几何（线面角2）—2022届高三数学一轮复习
（已下线）一轮复习大题专练50—立体几何（线面角2）—2022届高三数学一轮复习湖北省2020-2021学年高二下学期7月期末数学试题江西省赣抚吉名校2022届高三8月联合考试数学（理）试题江西省九江市柴桑区第一中学2022届高三上学期第二次月考数学（理）试题浙江省杭州高级中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题黑龙江省鸡西市密山市第一中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2021-2022学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题3 空间角与综合问题-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】2023版 北师大版(2019) 选修第一册 名师精选卷 第十一单元 向量在立体几何中的应用 A卷（已下线）模块四 专题2 暑期结束综合检测2（基础卷）江西省南昌市八一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题一 交汇中国古代文化 微点4 与中国古代文化遗产有关的立体几何问题综合训练【基础版】
