1 . 如图，在三棱柱中，平面分别为棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

2 . 如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点，为上一动点

(1)当平面时，求的值；
(2)在（1）的条件下，求与平面所成角的正弦值

3 . 在四棱柱中，底面，底面为平行四边形，.

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.

4 . 边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.
   
(1)证明：平面平面；
(2)设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围.

5 . 如图，在四棱台中，四边形是边长为4的正方形，平面为的中点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若平面经过且与平行，求点到平面的距离.

6 . 如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，，．
       
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

7 . 如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．

(1)证明：平面平面；
(2)若，，，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．

8 . 在长方体中，，是的中点．以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
   
(1)写出在平面上的投影向量的坐标；
(2)求点到平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．

9 . 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为线段AP上一点，且平面BDE．

(1)求AE的长；
(2)F为线段CP上的动点，求直线DF与平面BDE所成角正弦值的取值范围．

10 . 如图，在四棱锥中，平面平面为等边三角形，底面为等腰梯形，，且．
   
(1)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由；
(2)求与平面所成角的正弦值．