1 . 光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为______.

2 . 设.若曲线上一点不满足，则曲线在点处的切线方程为.则曲线过点的切线方程为__________.

3 . 正三棱柱内切球（球与上下底面和侧面都相切）的半径是为棱上一点，若二面角为，则平面截内切球所得截面面积为__________.

4 . 如图，，且与的距离为1，与的距离为2.若在上，分别在，上，，，.则四边形的面积为______.

   

5 . 设是同一平面上的两个区域，点，点两点间距离的最小值叫做区域间的距离，记作.若，，则______.

6 . 直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是__________.

7 . 已知曲线为坐标原点．给出下列四个结论：
①曲线关于直线成轴对称图形；
②经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；
③直线与曲线所围成的图形的面积为；
④设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______．

8 . 已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为______.

9 . “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：
设是坐标平面内的两点，则A，B两点间的曼哈顿距离为．
在平面直角坐标系中中，下列说法中正确说法的序号为__________
①．若，则；
②．若O为坐标原点，且动点P满足：，则P的轨迹长度为；
③．设是坐标平面内的定点，动点N满足：，则N的轨迹是以点为顶点的正方形；
④．设，则动点构成的平面区域的面积为10．

10 . 尺规作图不能问题之一的“倍立方”问题，是指已知体积为的正方体，作一个体积为的正方体，若跳出尺规作图的限制，借助其他工具可使问题得到解决．如图，作矩形，其中，以矩形的中心为圆心作圆，与的延长线分别交于点，且点共线，则即为所求正方体的棱长．若，则__________．