1 . 已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点.
（1）证明：为定值.
（2）若，O为坐标原点，求的面积与的面积的比值.

2 . 一个圆经过点，且和直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点．

3 . 已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点.
（1）若直线l的方程为，求的值；
（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且，求.

4 . 已知椭圆.
（1）求椭圆的短轴长和离心率；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，，设的中点为，点，判断与的大小，并证明你的结论.

5 . 在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足，若平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过点？并说明理由.

6 . 已知为实数，命题方程表示双曲线；
命题函数的定义域为.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题与命题有且只有一个为真命题， 求实数的取值范围.

7 . 已知是椭圆上的两点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知直线过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若以为直径的圆经过点，求直线的方程.

8 . 已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.

9 . 已知抛物线：，过定点的直线为.
（1）若与仅有一个公共点，求直线的方程；
（2）若与交于、两点，直线、的斜率分别为、，试探究与的数量关系.

10 . 已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上，且的最小值是（为坐标原点）.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知动直线与圆：相切，且与椭圆交于，两点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.