名校
1 . 汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）.其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）.定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线.设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm，灯深25cm（如图1）.设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x轴建立平面直角坐标系（如图2）抛物线上点P到焦点距离为5cm，且在x轴上方.研究以下问题：
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明（检验）车灯的光学原理，求证：由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明（检验）车灯的光学原理，求证：由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
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解题方法
2 . 已知以点
为圆心的圆经过原点
，且与
轴交于点
，与
轴交于点
．
(1)求证：
的面积为定值．
(2)设直线
与圆
交于点
，
，若
，求圆的方程．
(3)在（2）的条件下，设
，
分别是直线
和圆上的动点，求
的最小值及此时点的坐标.
为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点．(1)求证：
的面积为定值．(2)设直线
与圆交于点，，若，求圆的方程．(3)在（2）的条件下，设
，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.
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3 . 已知抛物线
的焦点
关于直线
的对称点恰在抛物线
的准线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)是抛物线上横坐标为
的点，过点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于
两点，证明直线
恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
的焦点关于直线的对称点恰在抛物线的准线上．(1)求抛物线
的方程；(2)
是抛物线上横坐标为的点，过点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于两点，证明直线恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
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2023-02-14更新
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400次组卷
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4卷引用：湖南省郴州市2022-2023学年高二上学期期末教学质量监测数学试题
解题方法
4 . 已知椭圆
的离心率为
，
，
是C的左、右焦点，P是C上在第一象限内的一点，关于直线
对称的点为M，关于直线
对称的点为N．
(1)证明：
；
(2)设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线
与椭圆C相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的取值范围．
的离心率为，，是C的左、右焦点，P是C上在第一象限内的一点，关于直线对称的点为M，关于直线对称的点为N．(1)证明：
；(2)设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线
与椭圆C相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的取值范围．
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2022-01-03更新
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298次组卷
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3卷引用：河南省名校联盟（十所名校）2021-2022学年高三上学期12月考文科数学试题
名校
5 . 已知直线l：
与直线l′：
相互垂直，圆C的圆心与点(2，1)关于直线l对称，且圆C过点M(-1，-1)．
（1）求直线l与圆C的方程．
（2）过点M作两条直线分别与圆C交于P，Q两点，若直线MP，MQ的斜率满足kMP＋kMQ=0，求证：直线PQ的斜率为1．
与直线l′：相互垂直，圆C的圆心与点(2，1)关于直线l对称，且圆C过点M(-1，-1)．（1）求直线l与圆C的方程．
（2）过点M作两条直线分别与圆C交于P，Q两点，若直线MP，MQ的斜率满足kMP＋kMQ=0，求证：直线PQ的斜率为1．
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2021-08-28更新
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1068次组卷
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5卷引用：内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题
名校
6 . 已知椭圆：
的短轴长为
，右焦点为
，点是椭圆上异于左、右顶点的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线
与直线
交于点，线段
的中点为，证明：点关于直线
的对称点在直线
上．
：的短轴长为，右焦点为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点．（1）求椭圆
的方程；（2）若直线
与直线交于点，线段的中点为，证明：点关于直线的对称点在直线上．
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2017-05-04更新
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647次组卷
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7卷引用：北京市东城区2017届高三二模理科数学试题
北京市东城区2017届高三二模理科数学试题北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理试题北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）理数试题湖北省襄阳市第四中学2017届高三高考适应性考试数学（文）试题湖北省襄阳四中2017届高三下学期5月适应性考试数学（文）试题（已下线）卷02-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（北京专用）（已下线）卷03-【赢在高考·黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（北京专用）
11-12高三下·江苏扬州·开学考试
7 . 如图，点为圆形纸片内不同于圆心的定点，动点在圆周上，将纸片折起，使点与点重合，设折痕
交线段
于点．现将圆形纸片放在平面直角坐标系
中，设圆:
，
，记点的轨迹为曲线．
（1）证明曲线是椭圆，并写出当
时该椭圆的标准方程；
（2）设直线
过点和椭圆的上顶点，点关于直线的对称点为点，若椭圆的离心率
，求点的纵坐标的取值范围.
为圆形纸片内不同于圆心的定点，动点在圆周上，将纸片折起，使点与点重合，设折痕交线段于点．现将圆形纸片放在平面直角坐标系中，设圆:，，记点的轨迹为曲线．（1）证明曲线
是椭圆，并写出当时该椭圆的标准方程；（2）设直线
过点和椭圆的上顶点，点关于直线的对称点为点，若椭圆的离心率，求点的纵坐标的取值范围.
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