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1 . 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线
就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上存在有点到原点的距离超过
；
③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线
上存在有点到原点的距离超过；③曲线
所围成的“心形”区域的面积大于3．其中，所有正确结论的序号是（ ）
| A．① | B．①②③ | C．①② | D．①③ |
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解题方法
2 . 如图：已知三点
、
、
都在椭圆
上．、、都是椭圆的顶点，求
的面积；
(2)若直线
的斜率为1，求弦中点
的轨迹方程；
(3)若直线的斜率为2，设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，是否存在定点，使得
恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．
、、都在椭圆上．
、、都是椭圆的顶点，求的面积；(2)若直线
的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；(3)若直线
的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．
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解题方法
3 . 已知圆
，动圆与圆
内切，且与定直线
相切，设圆心的轨迹为
(1)求的方程
(2)若直线
过点，且与交于
两点
①若直线与
轴交于点，满足
，试探究
与
的关系；
②过点分别作曲线的切线相交于点，求
面积的最小值.
，动圆与圆内切，且与定直线相切，设圆心的轨迹为(1)求
的方程(2)若直线
过点，且与交于两点①若直线
与轴交于点，满足，试探究与的关系；②过点
分别作曲线的切线相交于点，求面积的最小值.
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4 . 已知曲线
，对于命题：（1）垂直于x轴的直线与曲线C有且只有一个交点;（2）若点 
为曲线C上任意两点，则有
下列判断正确的是（ ）
，对于命题：（1）垂直于x轴的直线与曲线C有且只有一个交点;（2）若点 为曲线C上任意两点，则有下列判断正确的是（ ）| A．（1）和（2）均为真命题 | B．（1）和（2）均为假命题 |
| C．（1）为真命题，（2）为假命题 | D．（1）为假命题，（2）为真命题 |
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5 . 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线
就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线
上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线
所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（ ）
| A．①② | B．①③ | C．②③ | D．①②③ |
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解题方法
6 . 在
中，已知
，
，设
分别是的重心、垂心、外心，且存在
使
.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)求的外心
的纵坐标
的取值范围；
(3)设直线
与的另一个交点为，记
与
的面积分别为
，是否存在实数使
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使.(1)求点
的轨迹的方程；(2)求
的外心的纵坐标的取值范围；(3)设直线
与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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2024-04-12更新
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960次组卷
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3卷引用：上海市四校（复兴高级中学、松江二中、奉贤中学、金山中学）2024届高三下学期3月联考数学试卷
上海市四校（复兴高级中学、松江二中、奉贤中学、金山中学）2024届高三下学期3月联考数学试卷山西省晋城市第一中学校2023-2024学年高二下学期第二次调研考试数学试题（已下线）上海市四校（复兴高级中学、松江二中、奉贤中学、金山中学）2024届高三下学期3月联考数学试题变式题17-21
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解题方法
7 . 已知正四面体
的棱长为2，动点满足
，且
，则点的轨迹长为_________ .
的棱长为2，动点满足，且，则点的轨迹长为
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2024-03-14更新
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785次组卷
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2卷引用：上海市浦东新区上海师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
8 . 已知正方体
的棱长为2，E为棱
的中点，F，Q分别是线段
上的两个动点，为正方体表面
上一点，若到棱
与到棱的距离相等，则
的最小值为_______ ．
的棱长为2，E为棱的中点，F，Q分别是线段上的两个动点，为正方体表面上一点，若到棱与到棱的距离相等，则的最小值为
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解题方法
9 . 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）
的方程，若曲面和三元方程
之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解
为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为
．
(1)写出坐标平面
的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由；
(2)已知直线过曲面上一点
，以
为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；
(3)已知曲面可视为平面
中某双曲线的一支绕
轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线
在曲面上，且过点
，求异面直线与所成角的余弦值．
的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为．(1)写出坐标平面
的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由；(2)已知直线
过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；(3)已知曲面
可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值．
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解题方法
10 . 如图，在矩形中，
，
，
分别为边，
的中点，，
分别为线段
（不含端点）和
上的动点，满足
，直线
，
的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的渐近线方程为________ .
中，，，分别为边，的中点，，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的渐近线方程为
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2024-01-13更新
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338次组卷
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5卷引用：上海市行知中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷
上海市行知中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（已下线）第2章 圆锥曲线 单元综合检测（重点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题江西省新余市实验中学2023-2024学年高二下学期开学摸底考试数学试卷（已下线）专题5 曲线轨迹与交点问题
