1 . 已知为曲线的一个焦点，分别根据下列条件，求满足条件的曲线的标准方程.
(1)若为双曲线，点在的一条渐近线上；
(2)若为椭圆，点在上.

2 . 已知两定点，，动点与两定点的斜率之积为．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)设（1）中所求曲线为C，若斜率为的直线l过点，且与C交于P，Q两点．问：在x轴上是否存在一点T，使得对任意且，都有（其中，分别表示，的面积）．若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由

3 . 如图，已知椭圆的顶点，，，分别为矩形的边的中点，点分别满足，，直线与直线的交点为.

(1)证明：点P在椭圆E上；
(2)设直线l与椭圆E相交于M，N两点，内切圆的圆心为.若直线垂直于x轴，证明直线l的斜率为定值，并求出该定值.

4 . 在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.

5 . 如图，椭圆的右准线为，为椭圆上的动点，过点作椭圆的切线（与有且只有一个公共点），与直线交于点.当在短轴端点时，的面积为.

(1)求椭圆的方程；
(2)若面积为3，求点的坐标.

6 . 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．

（1）求的周长；
（2）求面积的取值范围；
（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．

7 . 在平面直角坐标系xOy中，已知点F₁(－2，0)，F₂(2，0)，点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝，记M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设l为圆x²＋y²＝4上动点T(横坐标不为0)处的切线，P是l与直线的交点，Q是l与轨迹C的一个交点，且点T在线段PQ上，求证：以PQ为直径的圆过定点．

8 . 已知A，B，C三点在椭圆上，其中A为椭圆E的右顶点，圆为三角形ABC的内切圆.
（1）求圆O的半径r；
（2）已知，，是E上的两个点，直线与直线均与圆O相切，判断直线与圆O的位置关系，并说明理由.

9 . 已知点，，的周长等于，点满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）是否存在过原点的直线与曲线交于，两点，与圆交于，两点（其中点在线段上），且，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线：的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为.
（1）当时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于、两点，若弦长等于的周长，求直线的方程；
（3）由抛物线弧和椭圆弧合成的曲线叫做“抛椭圆”，是否存在以原点为直角顶点，另两个顶点、落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由.