1 . 在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为.设过点的直线，与此椭圆分别交于点，，其中，，.

（1）设动点满足：，求点的轨迹；
（2）设，，求点的坐标；
（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标.

2 . 已知点与的距离和它到直线的距离的比是常数．
求点M的轨迹C的方程；
设N是圆E：上位于第四象限的一点，过N作圆E的切线，与曲线C交于A，B两点求证：的周长为10．

3 . 波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

4 . 在平面直角坐标系中,圆外的点在轴的右侧运动,且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离,记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于,两点,以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点,线段交于点,证明：的面积是的面积的四倍.

5 . 已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．
（1）试求抛物线的方程；
（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线恒过定点；
②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．

6 . 已知点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线：交曲线于，两点，当点不在、两点时，直线，的斜率分别为，，求证：，之积为定值.

7 . 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且（O为坐标原点）,并求出该圆的方程；
（3）已知,设直线与圆C:（1<R<2）相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值．

8 . 已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设，过点斜率为的直线交轨迹于两点， 的延长线交轨迹于两点.记直线的斜率为，证明：为定值，并求出这个定值.

9 . 已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点.
(1)证明：直线过定点；
(2)过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程.

10 . 设是椭圆上三个点，在直线上的射影分别为．
（1）若直线过原点，直线斜率分别为，求证：为定值；
（2）若不是椭圆长轴的端点，点坐标为，与面积之比为5，求中点的轨迹方程．