1 . 已知圆，直线.动圆与圆相外切，且与直线相切.设动圆圆心的轨迹为.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若点，是上的两个动点，为坐标原点，且，求证：直线恒过定点.

2 . 设P(a,b)（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1,b)的直线，记Q是直线l与抛物线x²＝2py（p≠0）的异于原点的交点
（1）若a＝1，b＝2，p＝2，求点Q的坐标；
（2）若点P(a,b)（ab≠0）在椭圆上，p＝，求证：点Q落在双曲线4x²－4y²＝1上；
（3）若动点P(a,b)满足ab≠0，p＝，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.

3 . 已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.
（1）求证：直线恒过定点；
（2）直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程.

4 . 已知平面内点到点的距离和到直线的距离之比为，若动点P的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）过F的直线与C交于A，B两点，点M的坐标为设O为坐标原点.证明：．

5 . 圆O：x²+y²＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P₁，P₂，点M满足．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率k_AS，k_AN存在，求证：k_AS•k_AN为常数．

6 . 设椭圆，点为其右焦点，过点的直线与椭圆相交于点，.

       
（1）当点在椭圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；
（2）如图1，点的坐标为，若点是点关于轴的对称点，求证：点，，共线；
（3）如图2，点是直线上的任意一点，设直线，，的斜率分别为，，，求证，，成等差数列.

7 . 已知点到抛物线的焦点的距离和它到直线的距离之比是．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过圆：上任意一点作圆的切线与轨迹交于，两点，求证：．

8 . 在平面直角坐标系中，，，动点R满足．
求点R的轨迹方程C；
过点的直线l与中的轨迹方程C交于点A，B，与x轴交于点Q，设，，求证：为定值．

9 . 设动圆P(圆心为P)经过定点(0，2)，被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线C
(1) 求C的方程
(2) 设不经过坐标原点O的直线l与C交于A、B两点，O在以线段AB为直径的圆上，求证：直线l经过定点，并求出定点坐标.

10 . 已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设，过点斜率为的直线交轨迹于两点， 的延长线交轨迹于两点.记直线的斜率为，证明：为定值，并求出这个定值.