1 . 已知的顶点，点在轴上移动，，且的中点在轴上.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知轨迹上的不同两点，与的连线的斜率之和为2，求证：直线过定点．

2 . 设是椭圆上三个点，在直线上的射影分别为．
（1）若直线过原点，直线斜率分别为，求证：为定值；
（2）若不是椭圆长轴的端点，点坐标为，与面积之比为5，求中点的轨迹方程．

3 . 已知椭圆的左，右焦点为，左，右顶点为，过点的
直线分别交椭圆于点.
（1）设动点，满足，求点的轨迹方程；
（2）当时，求点的坐标；
（3）设，求证：直线过轴上的定点.

4 . 圆与轴交于、两点（点在点的左侧），、是分别过、点的圆的切线，过此圆上的另一个点（点是圆上任一不与、重合的动点）作此圆的切线，分别交、于、两点，且、两直线交于点．
（）设切点坐标为，求证：切线的方程为．
（）设点坐标为，试写出与的关系表达式（写出详细推理与计算过程）．

5 . 已知圆：（），设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）延长交曲线于点，曲线在点处的切线与直线交于点，试判断以点为圆心，线段长为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．

6 . 已知点为圆上的动点，且不在轴上，轴，垂足为，线段中点的轨迹为曲线，过定点任作一条与轴不垂直的直线，它与曲线交于、两点．
（1）求曲线的方程；
（2）试证明：在轴上存在定点，使得总能被轴平分．

7 . 抛物线，直线过抛物线的焦点，交轴于点.

（1）求证：；
（2）过作抛物线的切线，切点为（异于原点），
（ⅰ），，是否恒成等差数列，请说明理由；
（ⅱ）重心的轨迹是什么图形，请说明理由.

8 . 已知为坐标平面上的动点，且直线与直线的斜率之积为常数.
(1)求点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？
(2)若, 点的轨迹为曲线，过点斜率为的直线与曲线交于不同的两点，中点为，直线(为坐标原点)的斜率为，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，设，且，求在轴上的截距的变化范围.

9 . 如图，已知圆，设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上．

（1）当r在内变化时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知定点 和 ，设直线PM、QM与轨迹E的另一个交点分别是 ．求证：当M点在轨迹E上变动时，只要都存在且，则直线恒过一个定点，并求出这个定点．

10 . 设为抛物线：上的两个动点，过分别作抛物线的切线，与轴分别交于两点，且与相交于点，若．

（1）求点的轨迹方程；
（2）求证：的面积为一个定值，并求出这个定值．