1 . 在平面直角坐标系中，已知、分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且，若，求直线的斜率．

2 . 已知，动点在：上运动.线段的中垂线与交于.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设、、三点均在曲线上，且，（为原点），求的范围.

3 . 设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.

4 . 在平面直角坐标系中，，为，轴上两个动点，点在直线上，且满足，.
（1）求点的轨迹方程；
（2）记点的轨迹为曲线，为曲线与正半轴的交点，、为曲线上与不重合的两点，且直线与直线的斜率之积为，试探究面积的最大值.

5 . 已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，是以为直径的圆，直线与相切，并且与椭圆交于不同的两点.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 当，且满足时，求弦长的取值范围．

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点，点在椭圆上，且，.
（1）求椭圆的方程和点的坐标；
（2）过点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点，求的面积的取值范围.

7 . 已知椭圆：（）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，点在直线的左上方.若，且直线，分别与轴交于，点，求线段的长度.

8 . 已知圆和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点、在曲线上，若直线、的斜率、满足.求面积的最大值.

9 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），圆O：x²+y²=r²（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．
（1）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；
（2）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足，并说明理由．

10 . 已知右焦点为的椭圆与直线相交于两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）为坐标原点，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.