1 . 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上顶点为，，直线的斜率为，为椭圆上不同于，的动点，为坐标原点，射线，且交椭圆于，射线，且交椭圆于．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围．

2 . 已知双曲线的焦点为椭圆的长轴端点，且椭圆E的离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点，求证：

3 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形.过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设的中点为，试判断是否存在实数，使得为定值.若存在，求出的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆)的右焦点为，离心率为，经过且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，为坐标原点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不经过原点且斜率为的直线交椭圆于两点，关于原点对称的点分别是，试判断四边形的面积有没有最大值，若有，请求出最大值；若没有，请说明理由.

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，点是椭圆上一点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过椭圆右焦点且与椭圆交于、两点，直线、与直线分别交于，．
①求证：，两点的纵坐标之积为定值；
②求面积的最小值．

6 . 已知椭圆的左､右顶点分别为，点为椭圆上一点，点，关于轴对称，且的面积的最大值为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线分别交轴于点，若成等比数列，求点的纵坐标.

7 . 已知椭圆的离心率为，点分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线，使得与椭圆相交于两点，且点恰为的垂心？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由.

8 . 已知椭圆C：的离心率为，F₁，F₂分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆C上一点，且△PF₁F₂的周长是6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为的直线交x轴于T点，交曲线C于A，B两点，是否存在使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，以椭圆的短轴为直径的圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于，两点，且，求四边形面积的取值范围．

10 . 已知椭圆，直线，直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，为坐标原点．
（1）若，且为线段的中点，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆长轴的一个端点为，直线与轴分别交于两点，当时，求椭圆的方程．