1 . 如图，在平面直角坐标系中，两点分别为椭圆的右顶点和上顶点，且，椭圆上的点到直线的距离的最大值为6.
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于另一点，交直线于点，且以为直径的圆经过原点，求直线的方程.

2 . 已知椭圆的离心率为，直线恒过椭圆的右焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得当变化时，总有直线的斜率和直线的斜率满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆的两个焦点为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），且，求直线的斜率的值.

5 . 已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线椭圆交于、两点，且，求的值.

6 . 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求线段的长.

7 . 已知椭圆：过点，其焦点为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点在椭圆上，且，求的面积.

8 . 已知椭圆的焦距为2，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求实数的值.

9 . 椭圆：的左、右顶点分别为，，上顶点为，Q是椭圆在第一象限内的一动点，直线与直线相交于点P，直线BQ与x轴相交于点R.
(1)求椭圆的方程
(2)试判断直线PR是否经过定点.若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由.

10 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的焦距为4，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．
   
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知图中四边形ABCD是矩形，且，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P．若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．