1 . 如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．

(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．

2 . 设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为.

(1)，AM的中点在x轴上，求点M的坐标；
(2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b；
(3)在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值.

3 . 已知椭圆C的短轴长与长轴长之比为，焦点坐标分别为，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知，，P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，，且，，分别以OG、OH为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点坐标.

4 . 设椭圆的右焦点为F，左顶点为A．M是C上异于A的动点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点（Q在x轴下方），且当M为椭圆的下顶点时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点S，T满足，，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值．

5 . 生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.

6 . 已知抛物线C：的焦点为，准线与坐标轴的交点为，、是离心率为的椭圆S的焦点.
(1)求椭圆S的标准方程；
(2)设过原点O的两条直线和，，与椭圆S交于A、B两点，与椭圆S交于M、N两点.求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.

7 . 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（       ）

A．3

B．6

C．

D．

8 . 定义：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆相似.如图，椭圆、是两个相似的椭圆，椭圆的长半轴长是4，短半轴长是2，且的左､右焦点、都在椭圆上.

(1)求、的方程；
(2)在上是否存在点P满足，线段的中点在上，如有请求出P的坐标，否则请说明理由；
(3)如图，若Q是上异于、的任意一点，直线与交于A､B两点，直线与交于D､E两点，求证：为定值.

9 . 已知是椭圆的两个焦点坐标，是椭圆上的一个定点，是椭圆上的两点，点的坐标为.

(1)求椭圆的方程；
(2)当两点关于轴对称，且为等边三角形时，求的长；
(3)当两点不关于轴对称时，证明：△不可能为等边三角形.

10 . 在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB，求椭圆的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值.