1 . 已知椭圆过点．其左、右两个焦点分别为、，短轴的一个端点为B，且．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设直线：与椭圆交于不同的两点M，N，且O为坐标原点，若，求实数的取值范围．

2 . 已知椭圆焦点为，且过点，椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求外接圆的标准方程．

3 . 已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，，的中点分别为，．试问：直线是否恒过定点？若是，请求出与的面积之比；若不是，请说明理由．

4 . 设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．
(1)求椭圆和的方程；
(2)若直线与交于，两点，与交于，两点，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程：若不存在，说明理由．

5 . 已知椭圆E：的离心率为，且点在椭圆E上，A为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆E的另外一个交点为P，线段PA的中点为M.
(1)若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；
(2)若，求三角形OPM的面积.

6 . （1）已知椭圆：的离心率为，是上一点，求的标准方程；
（2）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是上一点，且，，求点到的渐近线的距离.

7 . 已知椭圆的焦点为，且该椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆上的点满足，求的值．

8 . 点为椭圆在第一象限的弧上任意一点，过引轴，轴的平行线，分别交直线于，交轴，轴于两点，记与的面积分别为.
（1）若坐标为，且点与点关于轴对称，试求椭圆的标准方程;
（2）当时，试求的最小值.

9 . 椭圆：过点，且右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线的斜率等于，求出的值；
（3）探讨是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围.

10 . 如图，已知椭圆：的上顶点为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点作圆的两条切线，记切点分别为，令求此时两切点连线的方程；
（3）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点）.当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.