1 . 已知点在椭圆上，点在椭圆C内．设点以为的短轴的上、下端点，直线分别与椭圆C相交于点，且的斜率之积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)记，分别为，的面积，若，求的取值范围．

2 . 已知椭圆经过点，且离心率为，为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，连接，，．
(1)证明：直线经过定点；
(2)若记、的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程．
参考结论：为椭圆上一点，则过点的椭圆的切线方程为．

3 . 如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．
   
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．

4 . 设椭圆过点，且左焦点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，证明：面积为定值，并求出该定值．

5 . 已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为为垂足，求的最大值.

6 . 已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线与C交于M，N两点，直线分别与直线交于点P，Q，求的值．

7 . 如下图所示，已知椭圆的上顶点为，离心率为，且椭圆经过点.
   
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点作圆（圆在椭圆内）的两条切线分别与椭圆相交于两点（异于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

9 . 已知椭圆C：与y轴交于，两点，椭圆上异于A，B两点的动点D到A，B两点的斜率分别为，，已知．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过定点与动点D的直线，与椭圆交于另外一点H，若AH的斜率为，求的取值范围．

10 . 已知椭圆的离心率为，且经过点．
   
(1)求椭圆方程；
(2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围．