1 . 如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上．

(1)建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程；
(2)根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长．

2 . 已知离心率为的椭圆的方程为，则（       ）

A．2

B．

C．

D．3

3 . 已知曲线的方程为，直线：与曲线在第一象限交于点.
(1)若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值；
(2)若，时，直线与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程；
(3)是否存在不全相等，，满足，且使得成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

4 . 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.写出一个焦点在轴上，对称中心为坐标原点的“黄金椭圆”的标准方程__________.

5 . 已知椭圆C的离心率为，焦点、．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知、，是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求的取值范围．

6 . 已知椭圆C的两个焦点分别为，，离心率为，且点P是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（       ）

A．椭圆C的方程为

B．的最大值为

C．当时，

D．椭圆的形状比椭圆C的形状更接近于圆

7 . 已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为，过左焦点F₁的直线l₁交Γ于A，B两点，过右焦点F₂的直线l₂交Γ于C，D两点，且点A，C位于x轴上方，当直线l₁的倾斜角为90°时，恰有|AB|＝2．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若直线l₁，l₂的斜率之积为，求四边形ACBD面积的最大值．

8 . 已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．