双曲线的应用练习题及答案-高中数学-特供-组卷网

2019·全国·高考真题

单选题 | 较易(0.85) |

双曲线的应用

真题名校

1 . 双曲线C：

=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若

，则△PFO的面积为

A．

B．

C．

D．

2019-06-09更新 | 30429次组卷 | 62卷引用：2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）

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2023·浙江杭州·二模

填空题-单空题 | 适中(0.65) |

双曲线定义的理解双曲线与反光镜的设计问题

名校

2 . 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（

，

为焦点）上一点，点P处的切线平分

．已知双曲线C：

，O为坐标原点，l是点

处的切线，过左焦点

作l的垂线，垂足为M，则

______．

2023-04-06更新 | 3734次组卷 | 13卷引用：浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测(二模)数学试题

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2023·山东潍坊·一模

多选题 | 适中(0.65) |

双曲线定义的理解已知方程求双曲线的渐近线双曲线的其他应用求双曲线中三角形（四边形）的面积问题

名校

解题方法

面积问题

3 . 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知

分别为双曲线

的左，右焦点，过

右支上一点

作直线

交

轴于点

，交

轴于点

.则（）

A．的渐近线方程为	B．点的坐标为
C．过点作，垂足为，则	D．四边形面积的最小值为4

2023-02-22更新 | 2388次组卷 | 8卷引用：山东省潍坊市2023届高三下学期一模数学试题

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2022·河北唐山·二模

多选题 | 适中(0.65) |

利用定义解决双曲线中焦点三角形问题双曲线与反光镜的设计问题讨论双曲线与直线的位置关系根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围

名校

解题方法

范围问题

4 . 双曲线具有如下光学性质：如图

，

是双曲线的左、右焦点，从右焦点

发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点

．若双曲线C的方程为

，下列结论正确的是（）

A．若

，则

B．当n过

时，光由

所经过的路程为13

C．射线n所在直线的斜率为k，则

D．若

，直线PT与C相切，则

2022-04-30更新 | 3766次组卷 | 15卷引用：河北省唐山市2022届高三二模数学试题

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2023·广东茂名·三模

多选题 | 适中(0.65) |

利用定义解决双曲线中焦点三角形问题已知方程求双曲线的渐近线双曲线与反光镜的设计问题平面解析几何

名校

5 . 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：

，

是双曲线的左､右焦点，从

发出的光线

射在双曲线右支上一点

，经点

反射后，反射光线的反向延长线过

；当

异于双曲线顶点时，双曲线在点

处的切线平分

.若双曲线

的方程为

，则下列结论正确的是（）

A．射线

所在直线的斜率为

，则

B．当

时，

C．当

过点

时，光线由

到

再到

所经过的路程为13

D．若点

坐标为

，直线

与

相切，则

2023-06-22更新 | 1488次组卷 | 8卷引用：广东省茂名市第一中学2023届高三三模数学试题

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22-23高三上·河北秦皇岛·开学考试

多选题 | 较难(0.4) |

利用定义解决双曲线中焦点三角形问题求双曲线的离心率或离心率的取值范围双曲线的其他应用

名校

解题方法

定值问题转化与化归思想

6 . 已知双曲线

的左、右焦点分别为

，且

，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线

与

斜率的乘积为1，则（）

A．

B．双曲线C的离心率为

C．直线

倾斜角的取值范围为

D．若

，则三角形

的面积为2

2022-09-06更新 | 2117次组卷 | 9卷引用：河北省秦皇岛市部分学校2023届高三上学期开学摸底数学试题

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22-23高二上·山东德州·期末

单选题 | 适中(0.65) |

根据离心率求双曲线的标准方程双曲线的其他应用

解题方法

待定系数法求双曲线方程

7 . 3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（）

A．

B．

C．

D．

2023-04-14更新 | 989次组卷 | 10卷引用：山东省德州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

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21-22高二上·山西吕梁·期末

单选题 | 适中(0.65) |

利用定义解决双曲线中焦点三角形问题双曲线与反光镜的设计问题

名校

解题方法

探究性试题

8 . 双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点

发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点

．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为

，

分别为其左、右焦点，若从右焦点

发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（

，A，B在同一直线上），满足

，则该双曲线的离心率的平方为（）

A．

B．

C．

D．

2022-02-15更新 | 1579次组卷 | 7卷引用：山西省吕梁市2021-2022学年高二上学期期末数学试题

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2023·广西·一模

填空题-单空题 | 适中(0.65) |

椭圆定义及辨析椭圆与反光镜的设计问题双曲线定义的理解双曲线与反光镜的设计问题

名校

9 . 如图，一个光学装置由有公共焦点

的椭圆C与双曲线

构成，一光线从左焦点

发出，依次经过

与C的反射，又回到点

.，历时m秒；若将装置中的

去掉，则该光线从点

发出，经过C两次反射后又回到点

历时n秒，若

的离心率为C的离心率的4倍，则

_____________.

2023-04-09更新 | 669次组卷 | 6卷引用：广西桂林市、崇左市2023届高三一模数学（理）试题

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2024·江西南昌·一模

填空题-单空题 | 较难(0.4) |

求双曲线的离心率或离心率的取值范围双曲线的其他应用

解题方法

直接法解决离心率问题

10 . 用平面截圆锥面，可以截出椭圆､双曲线､抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点

且与两个球都相切，切点分别记为

.这个平面截圆锥面得到交线

是

上任意一点，过点

的母线与两个球分别相切于点

，因此有

，而

是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线

是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为

，球的半径为4，平面

与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于

两点，记平面

与圆锥侧面相交所得曲线为

，则曲线

的离心率为__________.

2024-03-12更新 | 606次组卷 | 3卷引用：江西省南昌市2024届高三第一次模拟测试数学试题

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