名校
1 . 对于求解方程的正整数解(,,)的问题,循环构造是一种常用且有效地构造方法.例如已知是方程的一组正整数解,则,将代入等式右边,得,变形得:,于是构造出方程的另一组解,重复上述过程,可以得到其他正整数解.进一步地,若取初始解时满足最小,则依次重复上述过程 可以得到方程的所有正整数解 .已知双曲线(,)的离心率为,实轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)方程的所有正整数解为,且数列单调递增.
①求证:始终是4的整数倍;
②将看作点,试问的面积是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)方程的所有正整数解为,且数列单调递增.
①求证:始终是4的整数倍;
②将看作点,试问的面积是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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2 . 我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线,都有令人惊奇的光学性质,且这些光学性质都与它们的焦点有关.如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上,经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点(如图所示,其中是反射镜面也是过点处的切线).已知双曲线(,)的左右焦点分别为,,从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处(点P在第一象限),经双曲线反射后过点.
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
(1)请根据双曲线的光学性质,解决下列问题:
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
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3 . 已知以下事实:反比例函数()的图象是双曲线,两条坐标轴是其两条渐近线.
(1)(ⅰ)直接写出函数的图象的实轴长;
(ⅱ)将曲线绕原点顺时针转,得到曲线,直接写出曲线的方程.
(2)已知点是曲线的左顶点.圆:()与直线:交于、两点,直线、分别与双曲线交于、两点.试问:点A到直线的距离是否存在最大值?若存在,求出此最大值以及此时的值;若不存在,说明理由.
(1)(ⅰ)直接写出函数的图象的实轴长;
(ⅱ)将曲线绕原点顺时针转,得到曲线,直接写出曲线的方程.
(2)已知点是曲线的左顶点.圆:()与直线:交于、两点,直线、分别与双曲线交于、两点.试问:点A到直线的距离是否存在最大值?若存在,求出此最大值以及此时的值;若不存在,说明理由.
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2024-03-21更新
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1546次组卷
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5卷引用:广东省佛山市禅城区2024届高三统一调研测试(二)数学试题
2023·全国·模拟预测
4 . 已知双曲线的中心在坐标原点,左、右焦点分别为,实半轴长为,过右焦点的直线与其中一条渐近线垂直且垂足为,的面积为.
(1)①;
②以为圆心,为直径的圆与直线所截得的弦长为2;
③.
从上面三个条件选择一个条件进行解答,当最大时,求双曲线的标准方程;
(2)设双曲线的左、右顶点分别为,在(1)的条件下,过点的直线与双曲线右支交于点,过点的直线与双曲线左支交于点,,设,的面积分别为,求的值.
(1)①;
②以为圆心,为直径的圆与直线所截得的弦长为2;
③.
从上面三个条件选择一个条件进行解答,当最大时,求双曲线的标准方程;
(2)设双曲线的左、右顶点分别为,在(1)的条件下,过点的直线与双曲线右支交于点,过点的直线与双曲线左支交于点,,设,的面积分别为,求的值.
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5 . 已知,既是双曲线:的两条渐近线,也是双曲线:的渐近线,且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.
(1)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线,交于点,,,求的值;
(2)如图,为双曲线上任意一点,过点分别作,的平行线交于,两点,证明:的面积为定值,并求出该定值.
(1)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线,交于点,,,求的值;
(2)如图,为双曲线上任意一点,过点分别作,的平行线交于,两点,证明:的面积为定值,并求出该定值.
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2023-07-01更新
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1022次组卷
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6卷引用:湖北省咸宁市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
湖北省咸宁市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(已下线)专题3.9 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练【九大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)考点16 解析几何中的定值问题 2024届高考数学考点总动员(已下线)重难点突破16 圆锥曲线中的定点、定值问题 (十大题型)-1(已下线)第2章 圆锥曲线(压轴题专练)-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练(沪教版2020选择性必修第一册)(已下线)通关练16 双曲线13考点精练(100题)- 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)
22-23高三下·上海浦东新·阶段练习
名校
解题方法
6 . 已知坐标平面上左、右焦点为,的双曲线和圆.
(1)若的实轴恰为的一条直径,求的方程;
(2)若的一条渐近线为,且与恰有两个公共点,求a的值;
(3)设,若存在上的点,使得直线与恰有一个公共点,求的离心率的取值范围.
(1)若的实轴恰为的一条直径,求的方程;
(2)若的一条渐近线为,且与恰有两个公共点,求a的值;
(3)设,若存在上的点,使得直线与恰有一个公共点,求的离心率的取值范围.
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7 . 已知双曲线E:(,)一个顶点为,直线l过点交双曲线右支于M,N两点,记,,的面积分别为S,,.当l与x轴垂直时,的值为.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)若l交y轴于点P,,,求证:为定值;
(3)在(2)的条件下,若,当时,求实数m的取值范围.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)若l交y轴于点P,,,求证:为定值;
(3)在(2)的条件下,若,当时,求实数m的取值范围.
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2022-10-25更新
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2090次组卷
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5卷引用:重庆市第八中学校2023届高三上学期高考适应性月考(二)数学试题
名校
解题方法
8 . 在平面直角坐标系中,双曲线的左顶点到右焦点的距离是,且的离心率是.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)点是上位于第一象限的一点,点、关于原点对称,点、关于轴对称.延长至使得,且直线和的另一个交点位于第二象限中.
(i)求的取值范围;
(ii)证明:不可能是的三等分线.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)点是上位于第一象限的一点,点、关于原点对称,点、关于轴对称.延长至使得,且直线和的另一个交点位于第二象限中.
(i)求的取值范围;
(ii)证明:不可能是的三等分线.
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