1 . 太曲线由曲线和曲线组成，其中点、为曲线所在圆锥曲线的焦点，点、为曲线所在圆锥曲线的焦点.

       

(1)若，，求曲线的方程；
(2)作曲线第一象限中渐近线的平行线，若与曲线有两个公共点、，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
(3)设，，若直线过点交曲线于点，求的面积的最大值.

2 . 如图，已知双曲线的右焦点，点分别在C的两条渐近线上，轴，（O为坐标原点）．

(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值．

3 . 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.

4 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右顶点，且
(1)求双曲线的方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点，求证：的面积为定值

5 . 已知为坐标原点，双曲线的焦距为4，且经过点
(1)求的方程；
(2)若直线与交于，两点，且．
（i）设直线的方程为，求证：；
（ii）求的取值范围．

6 . 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上.

7 . 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程.
(2)已知双曲线的左､右顶点分别为，直线与双曲线的左､右支分别交于点（异于点），设直线的斜率分别为，若点）在双曲线上，证明为定值，并求出该定值.

8 . 已知双曲线的离心率为2，右顶点为，过左焦点的直线交于，两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：以为直径的圆过定点．

9 . 如图，已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，是E上一点．

(1)求E的方程．
(2)过直线l：上任意一点T作直线，与E的左、右两支相交于A，B两点，直线关于直线l对称的直线为（与不重合），与E的左、右两支相交于C，D两点．证明：．

10 . 已知双曲线的一条渐近线为，实轴长为，为上一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)（i）证明：直线与双曲线相切于点；
（ii）若直线与双曲线相切，为双曲线的右焦点，且，试判断点是否在定直线上，若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由.