1 . 平面上，直线和相交于点，它们的夹角为.已知动点到直线与的距离之积为定值，动点的轨迹记为曲线.我们以为坐标原点，以直线与夹角的平分线为轴，建立直角坐标系，如图.
   
(1)求曲线的方程；
(2)当，时，直线与曲线顺次交于A、B、C、D四点，求证：；
(3)当，时，是否存在直线与曲线只有A、B、C三个不同公共点（点B在线段上），使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

2 . 已知动点分别与定点和连线的斜率乘积．
(1)求动点的轨迹；
(2)设点位于第一象限，是的右焦点，的平分线交于点，求证：．

3 . 轮船在海面上航行时，一般是通过发送电磁波信号实现定位.发送电磁波信号后，根据两个基站接收信号的时间差，便可以定位轮船在海面上大概的位置.建立平面直角坐标系（单位：千米），轴正半轴方向为正北方向，纵坐标小于0的部分为陆地，纵坐标大于0的部分为海面.已知两个基站的位置分别为，，一港口位于基站，之间靠近的位置.现有一艘轮船从港口出发沿着直线航行一段时间后到达点，并发出电磁波信号，两个基站接收到信号的时间差为秒（不知道两个基站接收信号的先后顺序）.已知电磁波在空气中的传播速度为千米/秒.
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知在港口发出电磁波信号后，两个基站接收到信号的时间差为秒.若这艘轮船的航行方向是东偏北45°，求这艘轮船从港口出发到海面上发送信号的这段时间航行的距离（结果保留整数，单位：千米）.参考数据：.

4 . 已知曲线上的动点满足，且.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.
①直线经过定点；
②点在定直线上.

5 . 已知，，动点满足直线与的斜率之积为3．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过原点O作直线l，直线l被曲线C截得的弦长为，将直线l向左、右分别平移2个单位长度得到直线，，且直线，被曲线C截得的弦长分别为，，证明：．

6 . 设直线，点A和点B分别在直线和上运动，且（其中O为坐标原点）.
(1)求AB的中点T的轨迹方程C：
(2)是否存在直线满足直线l与（1）中的曲线C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过曲线C的右焦点？若存在，求出k，若不存在，说明理由.

7 . 已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)已知点在曲线上，斜率为的直线与曲线交于两点（异于点）．记直线和直线的斜率分别为，，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．
①；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

8 . 已知点，直线，动点到的距离与到直线的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设点是轨迹上一点，在直线，上分别取点A，B，当A，B分别位于第一、二象限时，若，，求△AOB面积的取值范围.
附：在△ABC中，若，则△ABC的面积为.

9 . 在一张纸片上，画有一个半径为4的圆（圆心为M）和一个定点N，且，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P．

(1)若以MN所在直线为轴，MN的垂直平分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；
(2)在（1）中点P的轨迹上任取一点D，以D点为切点作点P的轨迹的切线，分别交直线，于S，T两点，求证：的面积为定值，并求出该定值；
(3)在（1）基础上，在直线，上分别取点G，Q，当G，Q分别位于第一、二象限时，若，，求面积的取值范围．

10 . 已知圆，圆．
(1)证明圆A与圆B相交，并求圆A与圆B的公共弦所在直线的方程；
(2)已知点，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为，求动点P的轨迹方程并说明轨迹图形．