1 . 已知定点F和定直线l，F不在直线l上，动圆M过F且与直线l相切，求证：圆心M的轨迹是一条抛物线.

2 . 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，(其中)是上的一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为抛物线上除顶点之外的任意一点，在点处的切线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，设，，的斜率分别为，，，求证：，，成等比数列.

3 . 在直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为．也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且．
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．

4 . 在平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到轴的距离多1.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)过点任作直线，交曲线于两点，交直线于点，是的中点，求证：.

5 . 已知过的动圆恒与轴相切，设切点为是该圆的直径．
（Ⅰ）求点轨迹的方程；
（Ⅱ）当不在y轴上时，设直线与曲线交于另一点，该曲线在处的切线与直线交于点．求证: 恒为直角三角形．

6 . 若曲线上的点到直线的距离比它到点的距离大，
（1）求曲线的方程．
（2）过点作倾斜角为的直线交曲线于、两点，求的长
（3）过点作斜率为的直线交曲线于、两点，求证：
为定值

7 . 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为.

（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值.

8 . 已知点，点在轴上，动点满足，且与轴交于点，是线段的中点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)点是直线上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为，，取线段的中点，连接交曲线于点.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

9 . 已知抛物线的焦点为是过的直线与抛物线的两个交点，求证：
（1）；
（2）为定值．

10 . 已知抛物线的焦点为，准线为，圆被直线截得的线段长为．
（1）求抛物线和圆的方程；
（2）设直线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点，求证：直线的斜率与直线的斜率的和为定值．