1 . 已知抛物线，焦点为F，准线为l，线段OF的中点为G.点P是C上在x轴上方的一点，且点P到l的距离等于它到原点O的距离.
(1)求P点的坐标.
(2)过点作一条斜率为正数的直线与抛物线C从左向右依次交于A，B两点，求证：.

2 . 求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．

3 . 已知抛物线：上的点到焦点的距离为.
(1)求点的坐标及抛物线的方程；
(2)过点的任意直线与抛物线交于点，过点的抛物线的两切线交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程.

4 . 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为6.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)设不与轴垂直的直线与点的轨迹交于不同的两点，.若，求证：直线l过定点.

5 . 动点到定点的距离比它到直线的距离小，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两个不同的点，过点，分别作曲线的切线，且二者相交干点．
(1)求曲线的方程；
(2)求证：；
(3)求的面积的最小值．

6 . 已知抛物线的焦点为F，，点是在第一象限内上的一个动点，当DP与轴垂直时，，过点作与相切的直线交轴于点，过点作直线的垂线交抛物线于A，B两点．

(1)求C的方程；
(2)如图，连接PD并延长，交抛物线C于点Q．
①设直线AB，OQ（其中O为坐标原点）的斜率分别为，，证明：为定值；
②求的最小值．

7 . 如图，已知点是焦点为的抛物线：上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为.

(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)在中，记，，求最大值.

8 . 设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)点，过F的直线交C于 两点，连接 ，与C的另一个交点分别为 ，记直线的斜率分别为．求证：为定值．

9 . 对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：
   
如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点.
(1)求抛物线的解析式和点A坐标；
(2)若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象.
①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值；
②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切.