1 . 已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线与抛物线交于不同的两点,,为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

3 . 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线准线与轴交于点.
(1)请写出满足的点的一组坐标；
(2)证明：；
(3)若将过焦点改为过点的直线与抛物线交于两点，在轴上是否存在点，使得，不需要说明理由，若存在写出点坐标.

4 . 已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．

5 . 已知抛物线，记其焦点为.设直线：，在该直线左侧的抛物线上的一点P到直线的距离为，且.

(1)求的方程；
(2)如图，过焦点作两条相互垂直的直线、，且的斜率恒大于0.若交于点，交抛物线于、两点，证明：为定值.

6 . 已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小．
(1)求曲线的方程；
(2)若不经过坐标原点的直线与曲线交于两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.

7 . 在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与到直线的距离相等.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设不经过原点的直线与点的轨迹相交于A，B两点，___________.
①若直线经过点，则；②若，则直线经过定点.
在①②中任选一个补充在上面的横线上，并给出证明.
（注：如果选择两个命题分别证明，按第一个证明计分.）

8 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为原点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若动直线：(为参数）与抛物线交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点.

9 . 已知动圆过定点，且与直线相切，其中．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设、是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当、变化且，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

10 . 已知抛物线（为正常数）的焦点为是抛物线上任意一点，圆的方程为的最小值为4.
(1)求的值；
(2)过点作圆的两条切线分别与抛物线相交于点（异于点），证明：直线也始终与圆相切.