1 . 已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的焦点坐标及准线方程；
（2）证明：以线段为直径的圆过原点.

2 . 已知抛物线经过点

（1）求抛物线的方程及其相应准线方程；
（2）过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于和四点，其中.设线段和的中点分别为过点作垂足为证明：存在定点使得线段长度为定值.

3 . 已知抛物线的焦点是，准线是.
（Ⅰ）写出的坐标和的方程；
（Ⅱ）已知点，若过的直线交抛物线于不同的两点，（均与不重合），直线，分别交于点，.求证：.

4 . 已知抛物线C:，焦点为，点在抛物上，设，其中．
（I）求焦点的坐标；
（Ⅱ）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明．

5 . 已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为，，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记椭圆C与x轴交于A，B两点，M是直线上任意一点，直线，与椭圆C的另一个交点分别为D，E．求证：直线过定点．

6 . 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于､两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

7 . 已知抛物线
（1）若抛物线C经过点，求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线交抛物线C于M、N两点，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点．

8 . 已知圆，抛物线，倾斜角为的直线过的焦点且与相切.
（1）求的值；
（2）点在的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设四边形为平行四边形，求证：点在直线上.

9 . 已知抛物线过点
（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标与准线方程；
（2）直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线，交于，两点，其中为坐标原点.若为线段的中点，求证：直线恒过定点.

10 . 如图，已知抛物线的焦点是，准线是，抛物线上任意一点到轴的距离比到准线的距离少2.

（1）写出焦点的坐标和准线的方程；
（2）已知点，若过点的直线交抛物线于不同的两点（均与不重合），直线分别交于点，求证：.