1 . 已知椭圆：的一个焦点与曲线的焦点重合，且离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)设直线：交椭圆于M，N两点.
①若且的面积为，求的值.
②若轴上的任意一点到直线与直线（为椭圆的右焦点）的距离相等，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标

2 . 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为，经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM，AN分别交直线于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，，求证：为定值．

3 . 已知椭圆E：，P为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点P的直线l₁，l₂与椭圆E的另外一个交点分别为A，B，线段PA的中点为M，线段PB的中点为N.
（1）若直线OM的斜率为，求直线l₁的方程；
（2）若OM⊥ON，证明：直线AB过定点.

4 . 已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

5 . 设实数，椭圆D：的右焦点为F，过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点，若线段PQ的中为N，点O是坐标原点，直线ON交直线于点M．

（1）若点P的横坐标为1，求点Q的横坐标；
（2）求证：；
（3）求的最大值．

6 . 已知椭圆C：1(a>b>0)的一个顶点坐标为A(0，﹣1)，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=k(x﹣1)(k0)与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B(1，0)，求证：点M不在以AB为直径的圆上.

7 . 已知椭圆的右焦点为.直线被称作为椭圆的一条准线.点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.
（1）求证：.
（2）若点在轴的上方，，求面积的最小值.

8 . 已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.
（1）求证：.
（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.
附：多项式因式分解公式：

9 . 已知离心率为的椭圆的左顶点为，且椭圆经过点，与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线和直线的斜率之积为，求证：直线过定点；
（3）若为椭圆上一点，且，求三角形的面积.

10 . 已知离心率为的椭圆的左顶点为A，且椭圆E经过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于C，D两点，且直线AC和直线AD的斜率之积为.
（I）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线l过定点.