1 . 平面直角坐标系中，椭圆C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，一个焦点F的坐标为，离心率为．
求椭圆C的标准方程：
若直线l经过焦点F，其倾斜角为，且交椭圆C于A、B两点，求线段AB长

2 . 如图椭圆的离心率为， 其左顶点在圆上.

（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为.是否存在直线，使得？ 若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由.

3 . 已知，分别是椭圆长轴的左，右顶点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴的上方，满足．
（1）求点的坐标；
（2）若线段上的一点到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值．

4 . 已知椭圆的焦点为，该椭圆经过点P（5,2）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上的点满足，求y₀的值.

5 . 已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线与椭圆交于两点，交轴于点，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

6 . 已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．

7 . 已知椭圆：（）的焦距为，点在上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在上，点的轨迹为曲线，过原点作直线与曲线交于、两点，点，证明：为定值，并求出定值.

8 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为6.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，试探究原点是否在以线段为直径的圆上.

9 . 已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，是椭圆的左右顶点，过点作直线与轴垂直，点是椭圆上的任意一点（不同于椭圆的四个顶点），联结，交直线于点，点为线段的中点，求证：直线与椭圆只有一个公共点．

10 . 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值．