1 . 已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，直线与椭圆相交于两点P和Q，且.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设不过原点O且斜率为的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D.证明：

2 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，点到直线的距离等于.
(1)求的方程；
(2)设分别是的左右顶点，经过点的直线与交于两点，不与重合，直线与交于点，求的最小值.

3 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线AP、BQ的斜率分别为、，是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

4 . 已知椭圆：（）的离心率为，且其长轴长与焦距之和为，直线，与椭圆分别交于点，，，，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形面积的最大值．

5 . 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于､两点，求中点的坐标．

6 . 已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）如果直线与这个椭圆交于､两不同的点，若，求的值.

7 . 已知，，曲线上任意一点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为.
（1）求曲线的标准方程；
（2）已知直线l过（与x轴不重合）且交于M，N两点过F且垂直于直线l的直线m交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

8 . 已知椭圆的左､右焦点分别是，且离心率为，点为椭圆下上动点，面积的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆的上顶点，直线交椭圆于点，过点的直线(直线的斜率不为1)与椭圆交于两点，点在点的上方．若，求直线的方程．

9 . 已知椭圆及直线.
（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）若直线被此椭圆截得的弦的中点横坐标为1.求直线的方程.

10 . 椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，短轴的一个端点与两焦点围成的三角形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求直线的斜率.