1 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线l经过原点，交C于不同两点A，B，且，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与y轴正半轴交于点G，与曲线C交于点E，点E在x轴的投影为点，过点G的另一直线与曲线C交于P，Q两点，若，求PQ所在直线的方程．

2 . 已知 为一动点，且直线与直线的斜率之积为的轨迹为曲线，直线过且与直线交于两点，记
(1)求曲线的方程
(2)求面积的最大值，并求出此时直线的方程

3 . 已知椭圆的焦距为，点在椭圆外，O为坐标原点，OP与椭圆交于点Q，过Q作椭圆的切线l，切线斜率为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设斜率为k的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段AB的中点，若E上存在点C，使得，求证：的面积为定值．

4 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，斜率为的直线与椭圆交于、.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段的垂直平分线交轴于点，记的中点为坐标为且，求直线的方程，并写出的坐标.

5 . 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.

   

(1)写出点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过且与平行的直线与曲线交于两点，求的取值范围.

6 . 已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），为椭圆右焦点，点满足（为坐标原点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为中点，求直线斜率．

8 . 动点P与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)已知，过点的直线与曲线E交于不同的两点A，B，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线，分别与x轴交于C，D两点，求四边形面积的最大值.

9 . 已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C．
(1)求C的轨迹方程；
(2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．

10 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：
   
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)直线与在第一象限内交于点，直线与交于两点（均异于点），则直线的斜率之和是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．