1 . 已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

2 . 已知椭圆的左､右焦点分别为.椭圆上有互异的且不在轴上的三点满足直线经过，直线经过.
(1)若椭圆的长轴长为4，离心率为，求的值；
(2)若点的坐标为的面积，求的值；
(3)若，直线经过点，求的坐标.

3 . 已知椭圆C：的焦距为，，分别为C的左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，H两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．

4 . 已知椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两个不同点、，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值；
(3)设、为椭圆的左、右顶点，为椭圆上除、外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，分别过点和作轴的垂线，垂足分别为和，求证：线段的长为定值．

5 . 已知椭圆，设过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点.

(1)求的最小值；
(2)记直线的斜率分别为，问是否存在的某种排列（其中），使得成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.

6 . 已知椭圆的上、下顶点分别为，点在上，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设坐标原点为，若不经过点的直线与相交于两点，直线与的斜率互为相反数，当的面积最大时，求直线的方程.

7 . 已知椭圆，上顶点和右顶点分别是，椭圆上有两个动点，且.如图所示，已知，且离心率.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形面积的最大值；并试探究直线与的斜率之积是否为定值若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由.

8 . 已知椭圆：的右焦点为，且点在椭圆上．斜率为的直线交椭圆于，两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为坐标原点，当直线的纵截距不为零时，试问是否存在实数，使得为定值？若存在，求出此时面积的最大值；若不存在，请说明理由．

9 . 设，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，直线：与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点.若，求证：直线经过定点.

10 . 已知圆，圆上有一动点P，线段PF的中垂线与线段PE交于点Q，记点Q的轨迹为C．第一象限有一点M在曲线C上，满足轴，一条动直线与曲线C交于A、B两点，且直线MA与直线MB的斜率乘积为．
(1)求曲线C的方程；
(2)当直线AB与圆E相交所成的弦长最短时，求直线AB的方程．