1 . 如图，一张坐标纸上已作出圆：及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线与轨迹交于两个不同的点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．

2 . 已知圆：（其中为圆心）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若点为曲线上一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点（其中A在的右侧），已知点，求四边形面积的最大值.

3 . 已知椭圆与抛物线y²＝x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求△AOB的面积．

4 . 已知分别为椭圆的右焦点、右顶点，，点为坐标原点，射线与的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点（在的上方）. 在轴上的射线分别为，且，当取得最大值时，求.

5 . 设点A、的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积是.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)直线与曲线相交于两点，若是否存在实数，使得的面积为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

6 . 已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，长轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是坐标原点，直线：与椭圆交于不同的、两点，求面积的最大值.

7 . 已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.

8 . 已知椭圆经过点，的四个顶点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上是否存在相异两点，使其满足:①直线与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在轴上，若存在，求出的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由.

9 . 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）记与的面积分别为和，求的最大值.