1 . 我们把椭圆和称为“相似椭圆”“相似椭圆”具有很多美妙的性质．过椭圆上任意一点P作椭圆的两条切线，切点分别为A、B，切线、与椭圆另一个交点分别为Q、R．
(1)设，证明:直线是过A的椭圆的切线；
(2)求证：点A是线段的中点；
(3)是否存在常数，使得对于椭圆上的任意一点P，线段的中点M都在椭圆上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

2 . 已知椭圆：的左焦点为，为曲线：上的动点，且点不在轴上，直线交于，两点.
(1)证明：曲线为椭圆，并求其离心率；
(2)证明：为线段的中点；
(3)设过点，且与垂直的直线与的另一个交点分别为，，求面积的取值范围.

3 . （1）如图1，点A在直线l外，仅利用圆规和无刻度直尺，作直线（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）．
（2）证明：一簇平行直线被椭圆所截弦的中点的轨迹是一条线段（不含端点）；
（3）如图2是一个椭圆C，仅利用圆规和无刻度直尺，作出C的两个焦点，简要说明作图步骤（只说明作图步骤）．
   

4 . 已知不过坐标原点且斜率为1的直线与椭圆交于点，，为的中点．
(1)求直线的斜率；
(2)设，直线，与椭圆的另一个交点分别为，（均异于椭圆顶点），证明：直线过定点．

5 . 证明：若AB是椭圆的一条弦，是弦AB的中点，则AB所在直线的斜率

6 . 已知椭圆,的离心率相同.点在椭圆上，、在椭圆上.

(1)若求点的轨迹方程；
(2)设的右顶点和上顶点分别为、，直线、分别是椭圆的切线，、为切点，直线、的斜率分别是、，求的值；
(3)设直线、分别与椭圆相交于、两点，且若是中点，求证：、、三点共线（为坐标原点）.

7 . 已知椭圆的C的方程：．
(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值．
(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．
(3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．

8 . 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切，两个球分别与平面相切于点，丹德林（）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面截圆锥得的是焦点在轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F₂的直线MF₂与AB垂直，且与直线l：交于点M，求证：O，D，M三点共线.

9 . 如图，椭圆：的右焦点为，椭圆：，椭圆的切线、交椭圆于、、三点，切点分别为、.

(1)求实数的值；
(2)求证：点是线段的中点；
(3)求四边形面积的最大值．

10 . 已知点，，为圆上的动点，延长至，使得，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过的直线与交于两点，纵坐标不为的点在直线上，线段分别与线段，交于两点，且，证明：.