1 . 动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，设点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线l与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：的面积为定值.

2 . 已知点在椭圆上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且，的斜率之积为.
(1)求的方程；
(2)过的两焦点、作两条相互平行的直线，交于，和，，求四边形面积的取值范围.

3 . 已知椭圆：．
(1)直线：交椭圆于，两点，求线段的长；
(2)为椭圆的左顶点，记直线，，的斜率分别为，，，若，试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．

4 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，证明：.

5 . 已知椭C：，为其左右焦点，离心率为，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点P，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为，，的斜率分别为，，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

6 . 已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)对于，是否存在实数k，使得直线分别交椭圆于点P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆经过两点，M，N是椭圆E上异于T的两动点，且，若直线AM，AN的斜率均存在，并分别记为．

(1)求椭圆E的方程；
(2)求证：；
(3)求面积的最大值．

8 . 已知是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的两点，且，若椭圆的离心率是，且，
   
(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线和直线的斜率分别为，证明为定值.

9 . 如图，A、F是椭圆C：（）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点.

(1)若，轴，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的离心率为，，求直线PA的倾斜角 的正弦.

10 . 已知椭圆的离心率为，直线，左焦点F到直线l的距离为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆相交于A，B两点．C，D是椭圆T上异于A，B的任意两点，且直线AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．设直线AC，BC的斜率为，．
①求的值；
②求直线MN的斜率．