1 . 设A，B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点G满足．
(1)求点G运动的曲线C的方程；
(2)直线与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．

2 . 如图，已知椭圆长轴长为4，离心率．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点为椭圆C上一点，设是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），直线与直线相交于点M，记的斜率分别为，求证：．

3 . 已知椭圆C：（）右焦点为，且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若直线l与曲线C相交于异于点A的两点D、E，且直线与直线的斜率之和为-1，则直线l是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由.

4 . 在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线、的斜率分别为、.求证：为定值.

5 . 已知一张纸上画有半径为的圆，在圆内有一个定点，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线为．
(1)若曲线的焦点在轴上，求其标准方程；
(2)在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线恒有两个交点，且，（为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；
(3)在（1）的条件下，是曲线上异于上顶点、下顶点的任一点，直线分别交轴于点，若直线与过点的圆相切，切点为，证明：线段的长为定值，并求出定值．

6 . 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：，F是椭圆的右焦点且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中并作答：注：如果选择多个条件作答，按第一个计分．

条件①：椭圆C的离心率，焦点到相应准线的距离是3．
条件②：椭圆C与圆M：外切，又与圆N：外切．
(1)求椭圆C的方程．
(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E两点，证明：直线DE过定点．

7 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆C上的一点P满足轴，且
(1)求椭圆的方程：
(2)过右焦点作直线交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使为定值？若存在，求出点M的坐标及该定值；若不存在，说明理由．

8 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点F是椭圆C的一个顶点．
(1)求椭圆C的方程
(2)设直线l不经过F，且与C相交于A，B两点，若直线与的斜率之和为，证明：l过定点，并求出定点坐标．

9 . 如图所示，椭圆中，椭圆离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线，与椭圆相交于，两点．直线的方程为：，过点作垂线，垂足为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)①求证：直线过定点，并求定点的坐标；
②求△面积的最大值.

10 . 已知椭圆的长轴长等于4，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过P作直线，与圆相切且分别交椭圆C于M、N两点．判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．