1 . 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．
(1)求直线PA与PB的斜率之积；
(2)任意过且与x轴不重合的直线交椭圆E于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过点A．

2 . 已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．

(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；
(3)证明：为定值？并求的最大值．

3 . 如图，已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，左、右顶点分别为、，离心率为，过的动直线与椭圆交于、两点，且的周长为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)在轴上是否存在点，使得（为坐标原点），若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．

4 . 已知椭圆 离心率， 过椭圆中心的直线交椭圆于两点 (在第一象限)， 过作轴垂线交椭圆于点， 过作直线垂直交椭圆于点， 连接交于点， 则_______________．

6 . 已知椭圆E：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知定点，直线l：满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，始终满足，证明：直线l过一定点T，并求出定点T的坐标.

7 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知直线满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，若以线段为直径的圆始终过点，试判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

8 . 已知椭圆：（）的离心率为，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与自右向左依次交于点，，点在线段上，且，求证：点横坐标为定值．

9 . 椭圆C的方程为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于点P、Q，椭圆的右焦点为，已知的周长为8，且椭圆过点．
(1)求椭圆C中a，b的值；
(2)过椭圆C的右焦点作直线交椭圆C于A，B两点，交轴于M点，若，，求证：为定值．

10 . 已知点，直线和交于点P，且它们的斜率之积为．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过点的直线与C交于A，B两点，点，求直线与的斜率之和．