1 . 过椭圆W：的左焦点F₁作直线l₁交椭圆于A，B两点，其中A(0，1)，另一条过F₁的直线l₂交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点0，﹣1重合．过F₁作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．
（1）求B点坐标和直线l₁的方程；
（2）比较线段EF₁和线段GF₁的长度关系并给出证明．

2 . 已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点(直线与坐标轴不垂直)，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于.
(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的最大值.

3 . 如图所示，已知椭圆 过点，离心率为，左、右焦点分别为、，点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线、的斜线分别为、.
（i）证明：；
（ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.

4 . 已知椭圆，是其左右焦点，为其左右顶点，为其上下顶点，若，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过分别作轴的垂线，椭圆的一条切线，与交于二点，求证：．

5 . 设直线与椭圆相交于，两个不同的点，与轴相交于点，为坐标原点.
（1）证明：；
（2）若，求的面积取得最大值时椭圆的方程.

6 . 已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，且为的重心．

(1)如果直线、的斜率都存在，求证：为定值；
(2)试判断的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由．

7 . 已知直线l₁：y＝x，l₂：y＝－x，动点P，Q分别在l₁，l₂上移动，｜PQ｜＝2，N是线段PQ的中点，记点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点M（0，1）分别作直线MA，MB交曲线C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁＋k₂＝2，证明：直线AB过定点．

8 . 已知椭圆：的右焦点为，设过的直线的斜率存在且不为0，直线交椭圆于，两点，若中点为，为原点，直线交于点．
（1）求证：；
（2）求的最大值．

9 . 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆，点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”.

（1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是；
（2）设，是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线，分别交轴于点，，过的椭圆的“切线”交轴于点，证明：点是线段的中点；
（3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线”与直线，所成夹角是否相等？并说明理由．

10 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且，
⊙与该椭圆有且只有一个公共点.
（1）求椭圆标准方程；
（2）过点的直线与⊙相切，且与椭圆相交于两点，求证：；
（3）过点的直线与⊙相切，且与椭圆相交于两点，试探究的数量关系.