1 . 椭圆离心率为，，是椭圆的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆和以为圆心、为半径的圆的交点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的下顶点为，直线与椭圆交于两个不同的点，是否存在实数使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

2 . 设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆：的圆心.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.

3 . 已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过作直线交椭圆于两点，是椭圆的另一个焦点，求的取值范围.

4 . 已知定点，为圆上任意一点，线段上一点满足，直线上一点，满足.
(1)当在圆周上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)若直线与曲线交于两点，且以为直径的圆过原点，求证：直线与不可能相切.

5 . 已知，两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点满足．
求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
一条纵截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程．

6 . 在直角坐标系中，已知直线与椭圆：相切，且椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则的面积为________．

7 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.

8 . 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围.

9 . 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F₁、F₂，点 是坐标平面内一点，且，（O为坐标原点）.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率为k的动直线l交椭圆于AB两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由.

10 . 已知椭圆过点，其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.