1 . 已知F₁，F₂分别为椭圆C：的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F₁的最大距离等于4，离心率等于，过左焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，圆E内切于三角形F₂MN；
（1）求椭圆的标准方程
（2）求圆E半径的最大值

2 . 已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于两点，的面积为，椭圆的长轴长是短轴长的倍.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围，

3 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.

4 . 已知和是平面直角坐标系中两个定点，过动点的直线和的斜率分别为，，且.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作相互垂直的两条直线与轨迹交于，两点，求证：直线过定点.

5 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为相圆上一点，与轴交于，，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线交椭圆于、两点若的中点为，为原点，直线交直线于点.求的最大值.

6 . 设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.

7 . 已知椭圆的离心率为，经过点B（0，1）．设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

8 . 在平面直角坐标系中，若，，且.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中曲线的左、右顶点分别为、，过点的直线与曲线交于两点，（不与，重合）.若直线与直线相交于点，试判断点，，是否共线，并说明理由.

9 . 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线相切，过点的直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若原点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围.

10 . 在平面直角坐标系中，设椭圆的左焦点为，左准线为为椭圆上任意一点，直线，垂足为，直线与交于点．

（1）若，且，直线的方程为．①求椭圆的方程；②是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（2）设直线与圆交于两点，求证：直线均与圆相切．