1 . 已知双曲线的焦距为4，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点．

2 . 已知双曲线C：的右顶点为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C的右支上，若直线AM与AN的斜率的乘积为-9，求证：直线MN过定点.

3 . 在平面直角坐标系中，已知动点、，点是线段的中点，且点在反比例函数的图象上，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线与轴交于两点，点是直线上的动点，直线分别与曲线交于点(异于点)．求证：直线过定点．

4 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线交轴于点，与双曲线的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：是的中点．

5 . 已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)记双曲线的上､下顶点为为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

6 . 在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点．

7 . 已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．

(1)证明：；
(2)取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

8 . 已知分别是双曲线的左、右焦点，点A是C的左顶点，直线与只有一个公共点.
(1)求C的方程；
(2)直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以为直径的圆经过点A，求证：直线l恒过定点.

9 . 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，且双曲线经过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线上异于点的两点，记直线的斜率为，若．求直线恒过的定点．